Poolcoördinaten: verschil tussen versies

29 bytes verwijderd ,  5 maanden geleden
Geen trema
(Geen trema)
 
[[Bestand:CircularCoordinates.png|thumb|right|De punten (3, 60°) en (4, 210°) in poolcoördinaten]]
 
In de [[wiskunde]] zijn de '''poolcoördinaten''' van een punt in een vlak de [[coördinaten]] waarmee de plaats van dat punt wordt vastgelegd ten opzichte van een vast punt O, de '''pool''', en een [[halfrechte]] door dit punt, de '''poolas'''. De coördinaat <math>r</math>, de ''straal'', van een punt P is de afstand OP tot de pool, en de tweede coördinaat <math>\theta</math>, het ''argument'', is de georiënteerde hoek tussen de halfrechte van O door P en de poolas. Uit deze definitie blijkt dat het argument van een punt P niet eenduidig bepaald is. Met het argument <math>\theta</math> in radialen, zijn ook alle hoeken <math>\theta + 2k\pi</math> voor gehele <math>k</math> argument van P. In specifieke toepassingen wordt het bereik van <math>\theta</math> daarom wel beperkt tot bijvoorbeeld <math>0\le\theta <2\pi</math> of <math>-\pi<\theta \le \pi</math>. Voor de pool zelf is <math>r=0</math> en <math>\theta</math> onbepaald.
 
== Poolcoördinaten en cartesische coördinaten ==
 
== Complexe getallen ==
[[ImageBestand:Imaginarynumber2.svg|thumb|right|265px|Een voorbeeld van een complex getal op het complexe vlak]]
 
Poolcoördinaten kunnen ook worden gebruikt om [[complexe getallengetal]]len weer te geven in het [[complexe vlak]].
Het complexe getal <math>z</math> kan carthesischcartesisch worden weergeven als:
<math>z = x + iy</math> waarin <math>x</math> het reële deel is en <math>y</math> het imaginaire deel.
 
In sommige gevallen kan het nuttig dat de voerstraal <math>r</math> ook negatieve waarden kan aannemen. Om dit mogelijk te maken kan men uitgaan van een licht gewijzigde definitie van het poolcoördinatenstelsel.
 
Het referentiekader bestaat dan uit een vast punt O, de pool en een [[As (wiskunde)|as]] door dit punt, de poolas. Om de poolcoördinaten van een punt P vast te leggen kiest men een as <math>u</math> door OP. De [[abscis]] <math>r</math> van het punt P op die as (met oorsprong O) is de eerste coördinaat <math>r</math> van P. Deze waarde kan negatief zijn. Als tweede coördinaat kiest men een van de mogelijke waarden van de geöriënteerdegeoriënteerde hoek <math>\theta</math> tussen de as <math>u</math> en de poolas. Ook hier kan het punt P meerdere paren poolcoördinaten hebben.
 
Als <math>r</math> een differentieerbare functie van <math>\theta</math> is die door nul gaat voor <math>\theta=\theta_0,</math> raakt de door <math>r</math> beschreven kromme daar aan de lijn <math>\theta=\theta_0,</math> Bij toelaten van een negatieve <math>r</math> gaat voor die <math>\theta=\theta_0</math> de kromme door O, anders eindigt de kromme bij O. Als de functie weer door nul gaat bij <math>\theta=\theta_1,</math> met <math>r<0</math> voor <math>\theta_0 < \theta < \theta_1,</math> dan is de kromme bij toelaten van een negatieve <math>r</math> een gladde zichzelf in O snijdende kromme. Wordt een negatieve <math>r</math> niet toegelaten, dan vervalt het deel <math>\theta_0 < \theta < \theta_1,</math> en heeft de kromme in O een knik.
 
In natuurkundige formules betekent <math>r</math> vaak de [[Vector (wiskunde)#Norm|norm]] (grootte) van de [[plaatsvector]] <math>\vec{r}.</math> Dat is dan een niet-negatieve grootheid, die dus onderscheiden moet worden van de <math>r</math> zoals hier gebruikt, die negatief kan zijn. Een grootheid kan alleen in termen van zo'n laatstgenoemde <math>r</math> (en <math>\theta</math>) worden uitgedrukt als de uitdrukking correct blijft bij negatieve <math>r.</math> Zo is de grootte van de [[middelpuntzoekende versnelling]] dan niet <math>r \omega^2</math>, maar <math>|r| \omega^2</math>; anders gezegd: de versnelling is dan in de richting van afnemende <math>|r|</math> en niet noodzakelijk in de richting van afnemende <math>r.</math> Rekening moeten houden met een negatieve <math>r</math> wordt zo al gauw onnodig ingewikkeld.
 
==Voorbeelden==
=== Rechte lijn ===
De vergelijking in poolcoördinaten van een halfrechte (of als <math>r</math> ook negatief kan zijn een [[rechte lijn]]) door de pool is van de vorm <math>\theta = c</math> (constant).
 
De vergelijking van een rechte lijn die niet door de pool gaat, is
Een vergelijking van de rechte door de punten <math>A=(r_1,\theta_1)</math> en <math>B=(r_2,\theta_2)</math> is
:<math>
r_1 \cdot r_2 \sin(\theta_2 - \theta_1)
+ r_2 \cdot r \sin(\theta - \theta_2)
+ r \cdot r_1 \sin(\theta_1 - \theta) = 0
</math>
 
 
===Kegelsnede===
Een poolvergelijking van een [[kegelsnede]] met [[excentriciteit (wiskunde)|excentriciteit]] <math>\varepsilon,</math> een [[Brandpunt (meetkunde)|brandpunt]] in de pool en de corresponderende richtlijn loodrecht op de poolas is van de vorm
:<math>r = \frac{p}{1 - \varepsilon\cos \theta}</math>
Daarin is <math>p</math> nog een parameter.
21.446

bewerkingen