Polynoom: verschil tussen versies

Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Madyno (overleg | bijdragen)
Madyno (overleg | bijdragen)
Geen bewerkingssamenvatting
Regel 2:
[[Bestand:Polynomialdeg2.png|thumb|De grafiek van de polynoom <math>y=x^2-x-2x</math>.]]
In de [[wiskunde]] is een '''polynoom''' of '''veelterm''' <math>p(x)</math> in één [[variabele]] (of onbepaalde) <math>x</math> een [[Uitdrukking (wiskunde)|uitdrukking]] van de vorm:
:<math>p(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n</math>,
 
waarin <math>a_n\ne 0</math>.
De getallen <math>a_0, a_1, \ldots, a_n</math> heten de coëfficiënten van de polynoom en het [[Natuurlijk getal|natuurlijke getal]] <math>n</math> de [[Graad (polynoom)|graad]] van de polynoom. De coëfficiënt <math>a_n</math> van de hoogste macht van <math>x</math> is ongelijk aan 0. Een polynoom is dus een uitdrukking waarin slechts twee [[Basisoperatie (wiskunde)|basisbewerkingen]] van de [[rekenkunde]] een [[Eindigheid|eindig]] aantal keren voorkomen, namelijk de [[Optellen|optelling]] en de [[Vermenigvuldigen|vermenigvuldiging]], of een uitdrukking die op die manier kan worden herschreven.
 
De getallen <math>a_0, a_1, \ldots, a_n</math> heten de coëfficiënten van de polynoom en het [[Natuurlijk getal|natuurlijke getal]] <math>n</math> de [[Graad (polynoom)|graad]] van de polynoom. De coëfficiënt <math>a_n</math> van de hoogste macht van <math>x</math> is ongelijk aan 0. Een polynoom is dus een uitdrukking waarin slechts twee [[Basisoperatie (wiskunde)|basisbewerkingen]] van de [[rekenkunde]] een [[Eindigheid|eindig]] aantal keren voorkomen, namelijk de [[Optellen|optelling]] en de [[Vermenigvuldigen|vermenigvuldiging]], of een uitdrukking die op die manier kan worden herschreven.
De uitdrukkingen <math>a_0, a_1 x, a_2 x^2, \ldots, a_n x^n</math> zijn de [[Term (wiskunde)|termen]] van de polynoom (veelterm).
 
==Terminologie==
===Coëfficiënt===
De getallen <math>a_0, a_1, \ldots, a_n</math> heten de ''coëfficiënten'' van de polynoom.
===Graad===
Het [[Natuurlijk getal|natuurlijke getal]] <math>n</math>, de hoogste voorkomende macht van de variabele, heet de [[Graad (polynoom)|graad]] van de polynoom. Een polynoom van de graad <math>n</math> wordt een ''<math>n</math>-de-graadspolynoom'' genoemd.
 
De constante [[Functie (wiskunde)|functie]] ongelijk aan 0 is een polynoom van de graad 0. Polynomen van de graad 1 heten lineair, en van de graad 2 kwadratisch. De lineaire polynomen, dat zijn de eerstegraadspolynomen, vormen functies met als grafiek een rechte [[Lijn (meetkunde)|lijn]], de tweedegraadspolynomen vormen functies met [[Parabool (wiskunde)|parabolen]] als grafiek.
 
In specifieke vakgebiedens worden de termen ''quartic polynoom'', voor de graad vier, en ''quintic polynoom'', voor de graad vijf, gebruikt.
 
===Term===
De uitdrukkingen <math>a_0, a_1 x, a_2 x^2, \ldots, a_n x^n</math> zijn de [[Term (wiskunde)|termen]] van de polynoom (veelterm). Elk van de termen is een [[eenterm]].
 
===MonischeConstante polynoom===
De polynoom <math>p(x)=a_0</math> met <math>a_0\ne 0</math> heet een ''constante polynoom''. Een constante polynoom is van de graad 0.
 
===Nulpolynoom===
De polynoom <math>p(x)=0</math>, dus de polynoom zonder term, heet de ''nulpolynoom''. De graad van de nulpolynoom wordt geacht niet bepaald te zijn. Polynomen van de graad 0 bestaan uit één term met de hoogste macht van de variabele gelijk aan 0 en een coëfficiënt ongelijk aan 0.
 
===Monische polynoom===
Een polynoom <math>p(x)</math> waarvan de coëfficiënt van de hoogste macht van <math>x</math> gelijk is aan 1 wordt ''monisch'' genoemd. Een monische polynoom kan geschreven worden in de vorm:
:<math>p(x) = x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0</math>
 
==Algemeen==
Polynomen komen voor in veel gebieden van wiskunde en wetenschap. Ze worden bijvoorbeeld gebruikt om [[Algebraïsche vergelijking|polynoomvergelijkingen]] te vormen, die een breed scala aan problemen tot de kern terugbrengen, van elementaire woordproblemen tot gecompliceerde wetenschappelijke problemen; ze worden gebruikt om [[Functie (wiskunde)|polynoomfuncties]] te definiëren, die voorkomen in omgevingen variërend van elementaire [[scheikunde]] en [[natuurkunde]] tot [[economie]] en [[sociale wetenschappen]] (Het zijn relatief eenvoudige [[gladde functie]]s, wat wil zeggen dat zij [[Continue functie (analyse)|continu]] en willekeurig vaak [[Differentieerbaarheid|differentieerbaar]] zijn. Zij worden onder meer gebruikt als [[Benadering van een grootheid|benadering]] voor ingewikkelder functies.); ze worden gebruikt in [[Differentiaalrekening|calculus]] en [[numerieke analyse]] om andere functies te benaderen. In geavanceerde wiskunde worden polynomen gebruikt om polynoomringen en algebraïsche variëteiten te construeren, wat ze maakt tot centrale concepten in de algebra en in de algebraïsche meetkunde .
 
Regel 23 ⟶ 48:
 
De verzameling van alle polynomen met reële coëfficiënten wordt genoteerd met <math>\mathbb{P}</math>. De deelverzameling van alle polynomen van graad <math>m \leq n</math>, samen met de nulpolynoom, wordt genoteerd met <math>\mathbb{P}_n</math>. Beide verzamelingen vormen een reële [[vectorruimte]]. De coëfficiënten kunnen als coördinaten optreden. De [[Basis (lineaire algebra)|basisvectoren]] zijn dan de machten van <math>x</math>. De ruimte <math>\mathbb{P}_{n-1}</math> is <math>n</math>-dimensionaal.
 
De constante [[Functie (wiskunde)|functie]] ongelijk aan 0 is een polynoom van de graad 0. Polynomen van de graad 1 heten lineair, en van de graad 2 kwadratisch. De lineaire polynomen, dat zijn de eerstegraadspolynomen, vormen functies met als grafiek een rechte [[Lijn (meetkunde)|lijn]], de tweedegraadspolynomen vormen functies met [[Parabool (wiskunde)|parabolen]] als grafiek.
 
===Nulpolynoom===
De polynoom <math>p(x)=0</math>, dus zonder term, heet de ''nulpolynoom''. De graad van de nulpolynoom wordt geacht niet bepaald te zijn. Polynomen van de graad 0 bestaan uit één term met de hoogste macht van de variabele gelijk aan 0 en een coëfficiënt ongelijk aan 0.
 
===Monische polynoom===
Een polynoom <math>p(x)</math> waarvan de coëfficiënt van de hoogste macht van <math>x</math> gelijk is aan 1 wordt ''monisch'' genoemd. Een monische polynoom kan geschreven worden in de vorm:
:<math>p(x) = x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0</math>
 
==Polynoomvergelijkingen==
Regel 51 ⟶ 67:
De coëfficiënt is −5 , de variabelen (of onbepaalden) zijn <math>x</math> en <math>y</math>. De exponent van <math>x</math> is twee en de exponent van <math>y</math> een, zodat de graad van de gehele term gelijk is aan <math>2+1=3</math>.
 
Veeltermen van graad een, twee of drie zijn respectievelijk ''lineaire veeltermen,'' ''kwadratische veeltermen'' en ''kubische veeltermen''. Voor hogere graden worden de specifieke namen in het algemeen niet gebruikt, Soms worden ''quartic polynoom'', voor graad vier, en ''quintic polynoom'', voor graad vijf, gebruikt in specifieke vakgebieden. De namen voor de graden kunnen worden toegepast op de polynoom of op de termen ervan. De term <math>2x</math> in <math>x^2 + 2x + 1</math> is bijvoorbeeld een lineaire term in een kwadratische polynoom.
 
Van de nulpolynoom wordt aangenomen dat hij helemaal geen termen heeft. In tegenstelling tot constante polynomen, is de graad niet nul. In plaats daarvan wordt de graad van de nulpolynoom ofwel expliciet ongedefinieerd gelaten, of als negatief gedefinieerd (<math>-1</math> of <math>-\infty</math>). De nulpolynoom is ook uniek, omdat het de enige polynoom is met een oneindig aantal wortels. De grafiek van de nulpolynoom is de <math>x</math>-as!