Rand (topologie): verschil tussen versies

100 bytes toegevoegd ,  2 jaar geleden
→‎Elementaire eigenschappen: A was die willekeurige verzameling van X
k (Bot: corrigeren verouderde syntax in formules - mw:Extension:Math/Roadmap)
(→‎Elementaire eigenschappen: A was die willekeurige verzameling van X)
 
[[Afbeelding:Topological boundary.svg|center|thumb|440px|De groene deelverzameling ''A'' van het vlak, met daaronder in het blauw een schets van de rand van ''A'']]
 
== Elementaire eigenschappen ==
De rand van een [[gesloten verzameling]] is een deel van die gesloten verzameling. De rand van een [[open verzameling]] is [[Disjuncte verzamelingen|disjunct]] met die open verzameling.
 
Een verzameling en haar complement hebben dezelfde rand. De rand van een [[open verzameling]] is disjunct met het [[disjuncteInwendige verzamelingen(topologie)|disjunctinwendige]] metvan die open verzameling.
 
De [[afsluitingAfsluiting (topologie)|afsluiting]] is de [[vereniging (verzamelingenleer)|vereniging]] van het inwendige met de rand. De rand is dus het [[verschil (verzamelingenleer)|verschil]] van de afsluiting met het inwendige.
Een verzameling en haar complement hebben dezelfde rand.
 
EenDe willekeurige deelverzamelingrand van ''X''<math>A</math> is een gesloten alsverzameling envan slechts<math>X</math>. alsDe zerand haarvan eigen<math>A</math> randis bevat.dan Eenen willekeurigeslechts dan een deelverzameling van ''X''<math>A</math>, als de rand een [[gesloten verzameling]] is. open<math>A</math> is dus gesloten als en slechts als ze disjunct is met haar eigen rand bevat. Hieruit volgt dat de [[relatieRelatie (wiskunde)|relatie]] <math>\delta</math> "heeft als rand" op de [[machtsverzameling]] 2<supmath>''2^X''</supmath> volledig de topologie van ''<math>X''</math> vastlegt.
De rand is disjunct met de [[Inwendige (topologie)|inwendige]].
 
De rand van een gesloten verzameling heeft geen inwendige. Een verzameling is gelijk aan haar eigen rand als en slechts als ze gesloten is en een leeg inwendige heeft.
De [[afsluiting (topologie)|afsluiting]] is de [[vereniging (verzamelingenleer)|vereniging]] van het inwendige met de rand. De rand is dus het [[verschil (verzamelingenleer)|verschil]] van de afsluiting met het inwendige.
 
De rand van ''de rand van <math>A''</math> is een geslotendeelverzameling verzamelingvan de rand van ''X.''<math>A</math>
: <math>\delta(\delta(A))\subset\delta(A)</math>,
(omdat deze laatste is gesloten is). Soms betreft het een strikte deelverzameling, zoals blijkt uit het voorbeeld van de rationale getallen.
 
De rand van de rand van ''<math>A''</math> heeft een leeg inwendige, zodat hij op zijn beurt gelijk is aan zijn eigen rand:
Een willekeurige deelverzameling van ''X'' is gesloten als en slechts als ze haar eigen rand bevat. Een willekeurige deelverzameling van ''X'' is open als en slechts als ze disjunct is met haar eigen rand. Hieruit volgt dat de [[relatie (wiskunde)|relatie]] <math>\delta</math> "heeft als rand" op de [[machtsverzameling]] 2<sup>''X''</sup> volledig de topologie van ''X'' vastlegt.
: <math>\delta(\delta(\delta(A)))=\delta(\delta(A))</math>
 
De rand van een gesloten verzameling heeft leeg inwendige.
 
Een verzameling is gelijk aan haar eigen rand als en slechts als ze gesloten is en een leeg inwendige heeft.
 
De rand van de rand van ''A'' is een deelverzameling van de rand van ''A''
:<math>\delta(\delta(A))\subset\delta(A)</math>
(omdat deze laatste gesloten is). Soms betreft het een strikte deelverzameling, zoals blijkt uit het voorbeeld van de rationale getallen.
 
De rand van de rand van ''A'' heeft een leeg inwendige, zodat hij op zijn beurt gelijk is aan zijn eigen rand:
:<math>\delta(\delta(\delta(A)))=\delta(\delta(A))</math>
 
==Afhankelijkheid van ''X''==