Versie van 31 aug 2020 10:21 bewerken Patrick (overleg \| bijdragen) uitgebreid bevestigde gebruikers 86.220 bewerkingen →‎Voorbeelden ← Oudere bewerking		Versie van 31 aug 2020 10:29 bewerken ongedaan maken Madyno (overleg \| bijdragen) 34.753 bewerkingen Geen bewerkingssamenvatting Nieuwere bewerking →
Regel 1: In de [[abstracte algebra]], een deelgebied van de [[wiskunde]], is een '''isomorfisme''' of '''isomorfie''' ([[Grieks]]: ἴσος ''isos'' "gelijk", en μορφή ''morphe'' "vorm") een [[bijectie]]ve [[Afbeelding (wiskunde)\|afbeelding]] <math>f</math> zodat zowel <math>f</math> als zijn [[inverse]] <math>f^{-1}</math> [[Homomorfisme\|homomorf]] zijn, dat wil zeggen, ''structuurbewarende'' afbeeldingen. In de meer algemene setting van de [[categorietheorie (wiskunde)\|categorietheorie]] is een '''isomorfisme''' een [[morfisme]] <math>f: \colon X\to Y</math> in een categorie waarvoor er een "inverse" <math>f^{-1}\!:colon Y\to X</math> bestaat, met de eigenschap dat zowel geldt <math>f^{-1}\!f = id_X</math> als <math>ff^{-1} = id_Y</math>. Informeel gesproken is een isomorfisme een soort van afbeelding tussen objecten die een relatie laat zien tussen twee eigenschappen of operaties. Wanneer er een isomorfisme tussen twee structuren bestaat, noemt men de twee structuren '''isomorf'''. Als men ervoor kiest om zekere details te negeren die voortvloeien uit de manier waarop de structuren zijn gedefinieerd, zijn isomorfe structuren in zekere zin '''structureel identiek'''. ==Nut en zin== Regel 11: Isomorfismen kunnen het gemakkelijkst worden gedefinieerd door te kijken naar concrete situaties: * In de [[lineaire algebra]] spreekt men wel van ''vectorruimte-isomorfismen''. Veronderstel dat <math>V</math> en <math>W</math> twee [[vectorruimte]]n zijn. Een vectorruimte-isomorfisme van <math>V</math> naar <math>W</math> is dan een morfisme van vectorruimten <math>f:\colon V\to W</math>, zo dat er een invers morfisme van vectorruimten <math>g:\colon W \to V</math> bestaat waarvoor voldaan is aan de relaties <math>f \circ g = id_W</math> en <math> g \circ f = id_V</math>. In het bijzonder zijn de vectorruimte-isomorfismen [[bijectie]]ve vectorruimte-morfismen. Indien het duidelijk is dat er met vectorruimten wordt gewerkt, spreekt men ook gewoonweg van morfismen en isomorfismen. * In de [[groepentheorie]] spreekt men van [[groepsisomorfisme]]n of isomorfismen van [[groep (wiskunde)\|groepen]]. Een isomorfisme van de groep <math>G</math> naar de groep <math>H</math> is een morfisme van groepen <math>f:\colon G \to H</math> zodat er een morfisme van groepen <math>g:\colon H \mapsto G</math> bestaat met <math> f \circ g = id_H</math> en <math>g \circ f = id_G</math>. * Twee [[ordetheorie\|geordende verzamelingen]] zijn orde-isomorf als er een bijectie is met corresponderende ordening. * Geheel analoog kan men spreken van isomorfismen van [[~~Lie~~lie-algebra]]'s, [[~~Lie~~lie-groep]]en, [[euclidische ruimte]]n, [[algebra]]'s, [[Lichaam (Ned) / Veld (Be)\|velden(B)/lichamen(NL)]], [[ring (wiskunde)\|ring]]en, [[module]]n, enz. ==Definitie== Veronderstel dat <math>A</math> en <math>B</math> twee objecten zijn met een gelijksoortige structuur, d.w.z. het zijn beide ~~Lie~~lie-algebra's (of velden, of vectorruimten, of anders). Een isomorfisme van <math>A</math> naar <math>B</math> is dan een morfisme <math>A\to B</math> zodanig dat er een invers morfisme <math>B\to A</math> bestaat. Merk op dat het woord morfisme hier gedefinieerd is in termen van de structuur die werd uitgekozen.▼ ▲Veronderstel dat <math>A</math> en <math>B</math> twee objecten zijn met een gelijksoortige structuur, d.w.z. het zijn beide Lie-algebra's (of velden, of vectorruimten, of anders). Een isomorfisme van <math>A</math> naar <math>B</math> is dan een morfisme <math>A\to B</math> zodanig dat er een invers morfisme <math>B\to A</math> bestaat. Merk op dat het woord morfisme hier gedefinieerd is in termen van de structuur die werd uitgekozen. Twee objecten zijn isomorf indien er een isomorfisme tussen deze objecten bestaat. Regel 27 ⟶ 26: ==Voorbeelden== * Een isomorfisme tussen twee [[metrische ruimte]]n heet een [[Isometrie (wiskunde)\|isometrie]]. * De isomorfismen tussen twee [[affiene euclidische ruimte]]n zijn de isometrieën met betrekking tot de bij de affiene euclidische ruimte behorende metriek. Ze bestaan alleen bij gelijke [[Dimensie (lineaire algebra)\|~~dimensie~~dimensies]]. * De isomorfismen tussen twee [[euclidische vectorruimte]]n zijn slechts de isometrieën met de oorsprong als dekpunt. Ze bestaan alleen bij gelijke ~~dimensie~~dimensies. * Beschouw een tweedimensionale (reële of complexe) [[vectorruimte]] <math>V</math>. Definieer de afbeelding van <math>V</math> naar zichzelf die alle vectoren met een vaste factor twee vermenigvuldigt. Dan is deze afbeelding een morfisme van de vectorruimte <math>V</math> naar zichzelf. Het inverse morfisme is hier het morfisme dat alle vectoren door twee deelt. In het bijzonder hebben we te maken met een isomorfisme van vectorruimten. Als het echter euclidische vectorruimten zijn dan zijn ze in die hoedanigeheid niet isomorf, want daar zijn het [[inwendig product]] en de daarvan afgeleide [[Norm (wiskunde)\|norm]] onderdeel van de structuur. * Beschouw de volgende groepen: de groep van de positieve reële getallen voorzien van de vermenigvuldiging enerzijds, en de groep van alle reële getallen voorzien van de optelling anderzijds. Dan is de [[logaritme\|logaritmische functie]] van de eerste groep naar de tweede groep, een isomorfisme van groepen. Het inverse morfisme is in dit geval de welbekende [[exponentiële functie]]. Bovendien zijn de twee morfismen ook [[Continue functie (analyse)\|continu]] (voor de evidente topologieën). In het bijzonder hebben we dus isomorfismen van [[topologische groep]]en.

Isomorfisme: verschil tussen versies