|
===Raakvlak en normaal===
In bovenstaand beeld wordt, tenzij in uitzonderlijkebijzondere punten van het oppervlak, elk punt <math>P_oP_0=(x_ox_0,y_oy_0,z_oz_0)</math> bereikt door een uniek parameterkoppel <math>(u_ou_0,v_ov_0)</math>. Door elk punt gaat bijgevolg ook één kromme uit elke familie.
Meer bepaaldin het bijzonder geldt dus in het punt <math>P_o(x_o,y_o,z_o)P_0</math>:
:<math>x_o \,x_0 = \, f(u_ou_0,v_ov_0)</math>
:<math>y_o \,y_0 = \, g(u_ou_0,v_ov_0)</math>
:<math>z_o \,z_0 = \, h(u_ou_0,v_ov_0)</math>
De <math>u</math>-kromme door dit punt ontstaat door ''<math>v''</math> constant te houden en is dus:
:<math>x(u) \, = \, f(u,v_ov_0)</math>
:<math>y(u) \, = \, g(u,v_ov_0)</math>
:<math>z(u) \, = \, h(u,v_ov_0)</math>
De <math>v</math>-kromme door dit punt ontstaat door ''<math>u''</math> constant te houden en is dus:
:<math>x(v) \, = \, f(u_ou_0,v)</math>
:<math>y(v) \, = \, g(u_ou_0,v)</math>
:<math>z(v) \, = \, h(u_ou_0,v)</math>
Aan beide ruimtekrommen, die dus beidenbeide door het punt <math>P_oP_0=(x_ox_0,y_oy_0,z_oz_0)</math> gaan en in het oppervlak liggen, kan nu de richting van de raaklijn bepaald worden. Beide raaklijnen liggen in het raakvlak. Bijgevolg is hun [[vectorproduct]] een vector die loodrecht op het raakvlak staat, en dus als normaal aan het oppervlak kan gebruikt worden.
De richting van de normaal aan een oppervlak beschreven door middel van twee parameters is dus:
:<math>N(u_ou_0,v_ov_0) \, = \, [big( f'_u(u_ou_0,v_ov_0),g'_u(u_ou_0,v_ov_0),h'_u(u_ou_0,v_ov_0)] \,big) \times \, [big(f'_v(u_ou_0,v_ov_0),g'_v(u_ou_0,v_ov_0),h'_v(u_ou_0,v_ov_0)\big)]</math>
Deze vector kan ook hier als richting van de normaal in het punt aan het oppervlak gebruikt worden.
|
