Convolutie: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Geen bewerkingssamenvatting |
Geen bewerkingssamenvatting |
||
Regel 1:
[[File:Convolution of box signal with itself2.gif|thumb|475px|Figuur 1. Convolutie van twee blokvormige signalen: het resultaat is een driehoekig signaal]]▼
[[File:Convolution of spiky function with box2.gif|thumb|475px|Figuur 2. Convolutie van een blokvormig signaal (het input signaal) met een impulsvormig signaal. De convolutie is de oppervlakte van de gele figuur.]]▼
'''Convolutie''' (samenvouwing) is een [[wiskunde|wiskundige]] [[operatie (wiskunde)|bewerking]], aangeduid door <math>\, * \,</math> ([[asterisk]]) of <math>\, \otimes \,</math>, op twee [[functie (wiskunde)|functies]] met als resultaat een nieuwe functie: de '''convolutie''' van beide. Synoniem voor convolutie is Duhamel-integraal of -som, [[w:de:Faltung (Mathematik)|Faltung-integraal]] of -som (Duits: vouwen).
Een interpretatie van de convolutie is de transformatie van een van beide functies door de andere. Daarbij is het resultaat de oppervlakte van de overlap van beide functies, waarbij de tweede functie verschuift.
▲[[
Voor het eerste voorbeeld hiernaast kan men dat als volgt bekijken:▼
▲[[
* De functies <math>f</math> en <math>g</math> zijn blokfuncties met een waarde 1 op het interval <math>[-0{,}5;0{,}5]</math>, en de waarde 0 elders.
* Aangezien deze functies symmetrisch zijn rond 0 (met andere woorden: voor elke <math>x</math> geldt dat <math>f(x)=f(-x)</math> en <math>g(x)=g(-x)</math>), is de gespiegelde versie van de functie, gelijk aan de functie zelf.
Regel 11 ⟶ 10:
* Op het moment dat <math>t</math> gelijk is aan –1, is er nog geen enkele overlap voor beide functies. Immers, de verschuiving van <math>g</math> met een factor <math>t=-1</math> resulteert in een blokfunctie <math>g</math> die een waarde 1 heeft voor alle waarden <math>\tau</math> die voldoen aan <math>-1{,}5 < \tau < -0{,}5</math>.
* Zodra <math>t</math> echter groter wordt, is er een overlap van beide functies. Deze begint zeer klein, maar wordt maximaal als beide functies elkaar volledig overlappen. Dit is het geval bij <math>t=0</math>. Daar is dus ook de gemeenschappelijke oppervlakte het grootst.
* Daarna
Een
== Voorbeelden ==
Regel 40 ⟶ 39:
Voor <math>0<t<1</math> is
:<math>f_\text{conv}(t) = \int_{t-1/2}^{1/2}1\,\mathrm{d}x =
en voor <math>-1<t<0</math>
:<math>f_\text{conv}(t) = \int_{-1/2}^{t+1/2}1\,\mathrm{d}x = t+
De convolutie <math>f_\text{conv}</math> is dus een driehoeksfunctie, die getoond wordt in figuur 1.<ref>Vergelijk [[Fred van der Blij|van der Blij, F.]] en van Tiel, J: ''Infinitesimaalrekening'', Utrecht/Antwerpen 1969, Het Spectrum, p. 380</ref>
Regel 77 ⟶ 76:
met <math>\mathcal{D}f</math> de [[afgeleide]] van <math>f</math> (continu geval) en <math>(\mathcal{D}f)(n)=f(n+1)-f(n)</math> (discreet geval).
===
:<math>\mathcal{F}(f*g) = \sqrt{2\pi} \mathcal{F}(f) \cdot \mathcal{F}(g)</math>,
met <math>F(f)</math> de [[Fouriertransformatie|
Gelijkaardige eigenschappen gelden ook voor de [[Laplacetransformatie]]:
Regel 123 ⟶ 122:
De som <math>X+Y</math> heeft dus ook een Poisson-verdeling, maar met parameter <math>\lambda + \mu</math>.
==
=== Distributies ===
Door uitbreiding van het begrip [[partiële integratie]] wordt de convolutie gedefinieerd op [[distributie (wiskunde)|distributies]].
[[Bestand:Convol 1dirac.png|thumb|240px|''De convolutie van een functie met de dirac-operator verschuift die functie'']]
De convolutie van een signaal <math>f(x)</math> met een verschoven [[Diracimpuls|
:<math>
(\delta * v)(k) = \sum_{i=-\infty}^\infty \delta(i-i_0)v(k-i)=v(k-i_0)
| |||