Uitputtingsmethode: verschil tussen versies

Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Geen bewerkingssamenvatting
Madyno (overleg | bijdragen)
Versie 56597875 van 2A02:A44E:4C57:1:7069:FB40:FE0:81B7 (overleg) ongedaan gemaakt.
Label: Ongedaan maken
Regel 3:
De methode is in de [[Griekse Oudheid]] bedacht door [[Antiphon van Rhamnus]] en werd nauwkeurig beschreven door [[Eudoxus van Cnidus]]. De methode maakt gebruik van het feit dat bekend was dat de oppervlakte van elke [[veelhoek]] bepaald kan worden door de veelhoek in [[driehoek (meetkunde)|driehoeken]] onder te verdelen. De oppervlakte van bijvoorbeeld een [[cirkel]] kan benaderd worden door de grootste [[veelhoek]] te nemen die binnen de cirkel past. Naarmate een veelhoek wordt gekozen met steeds meer [[hoek (meetkunde)|hoekpunten]], zal de oppervlakte van de veelhoek steeds dichter in de buurt komen van de oppervlakte van de cirkel. De [[limiet]] van de oppervlakte van de [[veelhoek]], waarbij het aantal hoeken naar oneindig gaat, is gelijk aan de oppervlakte van de cirkel. Op een vergelijkbare manier kan het volume van een driedimensionaal figuur zoals een [[bol (lichaam)|bol]] of een [[kegel (ruimtelijke figuur)|kegel]] gevonden worden, door het grootste [[veelvlak]] te nemen dat in de driedimensionale figuur past en het aantal [[vlak (meetkunde)|vlak]]ken van het veelvlak naar oneindig te laten gaan.
 
Eudoxus gebruikte de uitputtingsmethode om onder andere te bewijzen dat de oppervlakte van een cirkel evenredig is met het [[kwadraat]] van zijn straal[[diameter]] en dat het volume van een [[Kegel (ruimtelijke figuur)|kegel]] gelijk is aan een derde deel van het volume van een [[Cilinder (meetkunde)|cilinder]] met een gelijk [[grondvlak]] en gelijke hoogte. [[Archimedes]] gebruikte de uitputtingsmethode om te bepalen dat de waarde voor [[Pi (wiskunde)|π]], de verhouding tussen de omtrek van een cirkel en zijn diameter, moet liggen tussen 223/71 en 22/7. Hiervoor berekende hij het oppervlak van een regelmatig 96-vlak dat precies in de cirkel past (voor de ondergrens) en een regelmatig 96-vlak waar de cirkel precies inpast (voor de bovengrens).
 
Tegenwoordig wordt de uitputtingsmethode van Eudoxus wel gezien als een voorloper van de [[integraalrekening]], waarbij het oppervlak onder een [[kromme]] wordt bepaald door de kromme in oneindig veel stukjes op te delen.