Breuk (wiskunde): verschil tussen versies

2.027 bytes verwijderd ,  1 jaar geleden
deel verplaatst naar rationaal getal
(deel verplaatst naar rationaal getal)
Men spreekt over een echte breuk wanneer de [[absolute waarde]] van de teller kleiner is dan die van de noemer, bijvoorbeeld {{breuk|1|5}} of {{breuk|2|3}}, en over een onechte breuk wanneer dat niet zo is, bijvoorbeeld {{breuk|1|1}} of {{breuk|6|5}}. Echte breuken hebben een waarde die absoluut gezien kleiner is dan 1, onechte breuken leveren een waarde op die absoluut gezien groter of gelijk is aan 1. Een breuk met teller 1, bijvoorbeeld {{breuk|40}}, noemt men een stambreuk.<ref>[http://www.wisfaq.nl/show3archive.asp?id=37822&j=2005 Wisfaq]</ref>
 
Een breuk is een voorstelling van een [[rationaal getal]] en ieder rationaal getal kan als breuk worden geschreven. MetBij het [[rekenenRekenen|rekenonderwijs]], bij het onderwijs op de [[lagere schoolbasisschool]], is het gebruikelijk om overvormen breuken te spreken. In de wiskunde,inleiding wanneertot de rationale getallen met andere getallenverzamelingen worden vergeleken, bijvoorbeeld met de [[Reëel getal|reële getallen]] (<math>\R</math>), wordt over de rationale getallen (<math>\Q</math>)het gesprokendelen. Getallen die niet als breuk zijn te schrijven zijn [[Irrationaal getal|irrationaal]]. Met sommige wordt veel gerekend, vooral met [[Pi (wiskunde)|{{polytonic|π}}]] en [[e (wiskunde)|{{math|e}}]],
 
Naar analogie met een breuk worden ook bij een deling van de ene grootheid door een andere, de ene als teller en de andere als noemer aangeduid, en de deling genoteerd met een breukstreep.
=== Kruislings vermenigvuldigen ===
Met [[kruislings vermenigvuldigen]] kan een [[Vergelijking (wiskunde)|vergelijking]] tussen twee breuken worden vereenvoudigd. Daarbij wordt de noemer van het linkerlid vermenigvuldigd met de teller van het rechterlid en de teller van het linkerlid met de noemer van het rechterlid. Beide producten stelt men dan aan elkaar gelijk. De vergelijking {{vbreuk|9|15}} = {{vbreuk|12|x}} wordt door kruislings vermenigvuldigen vereenvoudigd {{nowrap|tot 180 {{=}} 9 · ''x''}}, waaruit weer volgt dat {{nowrap|''x'' {{=}} 20}}.
 
== Abstracte definitie van de rationale getallen ==
Als men de verzameling <math>\mathbb{Z}</math> der gehele getallen als gegeven beschouwt, dan kan de verzameling der breuken als volgt worden opgebouwd.
 
Beschouw de [[Cartesisch product|productverzameling]] <math>\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}_0</math>, dat is de verzameling van alle [[Koppel (wiskunde)|geordende paren]] van gehele getallen waarvan het tweede verschillend is van 0. Op deze productverzameling bepaalt men een [[equivalentierelatie]] door te zeggen dat het geordende paar <math>(a,b)</math> gelijkwaardig is met het paar <math>(c,d)</math> als <math>a\cdot d = b\cdot c</math>.
 
Opdat dit een equivalentierelatie zou zijn, moet de [[Transitiviteit (wiskunde)|transitiviteit]] nagegaan worden: indien een willekeurig derde geordend paar <math>(e,f)</math> gelijkwaardig is met <math>(c,d)</math>, dan ook met <math>(a,b)</math>. Dit kan uitgerekend worden:
:<math>d\cdot (a\cdot f-b\cdot e)=a\cdot d\cdot f-b\cdot d\cdot e=b\cdot c\cdot f-b\cdot d\cdot e=b\cdot (c\cdot f-d\cdot e)=0</math>
 
en omdat <math>d</math> verschillend is van 0, moet <math>a \cdot f = b \cdot e</math>.
 
Men noteert de equivalentieklasse van het geordend paar <math>(a,b)</math> als de breuk {{breuk|a|b}}. Men kan nagaan dat de algemene rekenregels voor de optelling en de vermenigvuldiging van breuken compatibel zijn met deze equivalentierelatie (de resultaten zijn onafhankelijk van de gekozen vertegenwoordiger van een equivalentieklasse) en dat ze de structuur van een [[Lichaam (Ned) / Veld (Be)|''lichaam'']] (benaming in Nederland) of ''veld'' (benaming in België) bepalen. De elementen van dit lichaam/veld noemt men de rationale getallen.
 
== Muziek ==
30.693

bewerkingen