Ordinaalgetal: verschil tussen versies

*Een ''beginsegment'' van een welgeordende verzameling <math>(X,\leq)</math> is een verzameling <math>X_a = \{x \in X \mid x < a\}</math>.

*Een '''ordinaal''' is een welgeordende verzameling <math>(X,\leq)</math> waarvoor geldt dat <math>a = X_a </math> voor alle <math>a</math> in <math>X</math>, dus een welgeordende verzameling waarvan ieder element zijn eigen beginsegment is.

De ordinaal <math>\omega</math> met zijn opvolgers vormen de rij <math>\omega, \omega+1, \omega+2, ..\ldots</math>. De limietordinaal van alle ordinalen tot en met deze rij is <math>\omega \cdot 2</math>. De ordinaal <math>\omega \cdot 2</math> met zijn opvolgers vormen de rij <math>\omega \cdot 2</math>, <math>\omega \cdot 2+1</math>, <math>\,\omega \cdot 2+2,\ldots</math>, .. , enzovoort. Deze "opeenvolging van oneindig veel rijen" heeft ook een limietordinaal, <math>\omega^2</math>, enzovoort. De volgende limietordinalen zijn <math>\omega^2+\omega, \omega^2+\omega \cdot 2, \omega^2+\omega \cdot 3, ..\ldots, \omega^2 \cdot 2,\ldots</math>, enzovoort. Zo krijgen we alle "polynomen" in <math>\omega</math> met niet-negatieve gehele coëfficiënten. De volgende limietordinaal is de verzameling daarvan, aangeduid als <math>\omega^\omega</math>. Hier kan weer elk van de voorgaande ordinalen bij worden opgeteld. Vervolgens is er dan de limietordinaal <math>\omega^\omega \cdot 2</math>. Verdergaand (na veel tussenstappen) zijn er ook <math>\omega^{\omega^\omega}</math>, <math>\omega^{\omega^{\omega^\omega}},\ldots</math>, .., en

:<math>\varepsilon_0 = \omega^{\omega^{\omega^{\cdot^{\cdot^\cdot}}}} = \sup \{ \omega, \omega^{\omega}, \omega^{\omega^{\omega}}, \omega^{\omega^{\omega^\omega}}, \dotsldots \}</math>

Deze ordinalen, en meer, zijn allemaal aftelbaar. De verzameling van alle aftelbare ordinalen is de kleinste overaftelbare ordinaal, ω<submath>1\omega_1</submath>. Er zijn dus ook overaftelbaar veel aftelbare ordinalen. Zie ook onder.

*===Optellen van 2 ordinalen:===

:<math>\alpha + \beta = \mboxmathrm{Ord}(A,<_A)</math>

:met

:en

*===Som (algemeen):===

:met

:en

*===Vermenigvuldigen:===

:<math>2 \cdot \omega = \omega</math> terwijl <math>\omega \cdot 2 = \omega + \omega >\omega </math>

De kleinste oneindige ordinaal is ω<math>\omega</math>, die wordt geïdentificeerd met het [[kardinaalgetal]] <math>\aleph_0</math>. Maar in het transfiniete geval, verder dan ω<math>\omega</math>, maken ordinaalgetallen op grond van hun orde-informatie een fijner onderscheid dan kardinalen. Terwijl er slechts één [[aftelbare verzameling|aftelbare]] [[oneindige verzameling|oneindige]] kardinaal, namelijk <math>\aleph_0</math> zelf is, zijn er oneindig veel aftelbare oneindige ordinalen, namelijk

De verzameling van alle aftelbare ordinaalgetallen vormt de [[eerste onaftelbare ordinaal]], ω<submath>1\omega_1</submath>, die wordt geïdentificeerd met de kardinaal <math>\aleph_1</math> (de eerstvolgende kardinaal na <math>\aleph_0</math>). Welgeordende kardinalen worden geïdentificeerd met hun [[initiële ordinaal|initiële ordinalen]], dat wil zeggen de kleinste ordinaal van die [[kardinaliteit]]. De kardinaliteit van een ordinaalgetal definieert een "een-op-meer-associatie" van kardinalen naar ordinalen.

In het algemeen heeft elke ordinaal α<math>\alpha</math> het ordetype van de verzameling van ordinalen die strikt genomen kleiner zijn dan α zelf. Deze eigenschap laat toe dat elke ordinaal kan worden weergegeven als een verzameling van alle ordinalen kleiner dan zichzelf. Ordinalen kunnen als volgt worden gecategoriseerd: [[0 (getal)|nul]], opvolgerordinalen, en limietordinalen (van verschillende [[cofinaliteit]]en). Gegeven een klasse van ordinalen, kan men het α-ste lid van die klasse identificeren, dat wil zeggen dat men de ordinalen in deze klasse kan indexeren (tellen). Een klasse is gesloten en onbegrensd als haar indexeringsfunctie [[Continue functie (analyse)|continu]] is en nooit stopt.

De '''[[Cantor-normaalvorm]]''' geeft elke ordinaal uniek weer als een [[eindige som]] van [[ordinaalmacht]]en van ω. Dit kan echter niet de basis vormen voor een universele ordinaalnotatie, dit als gevolg van zulke zelf-referentiële weergaven als <math>\epsilon_0varepsilon_0 = \omega^{\epsilon_0varepsilon_0}</math>. Grotere en grotere ordinalen kunnen worden gedefinieerd, maar ze worden steeds moeilijker te beschrijven. Elke ordinaal kan worden omgezet in een [[topologische ruimte]] door de ordinaal uit te rusten met een [[ordetopologie]]; deze topologie is slechts [[dan en slechts dan als|dan en slechts dan]] [[discrete topologie|discreet]] als de ordinaal tevens een [[telbaar kardinaalgetal]] is, wat wil zeggen voor de meeste ω. Een [[deelverzameling]] van ω<math>\omega + 1</math> is [[open verzameling|open]] in de ordetopologie dan en slechts dan als deze deelverzameling [[cofiniet]] is of wanneer element ω<math>\omega</math> er zelf geen deel van uitmaakt.