|
:<math>\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = k x</math>
Hierin is <math>k</math> de ''continue relatieve groeisnelheid'' van <math>x</math>, ook te beschrijven als de [[frequentie]] waarin <math>x</math> met een factor <math>e</math> vermenigvuldigd wordt.<ref>Dit gebeurt uiteraard geleidelijk, niet stapsgewijs.</ref> Als <math>k<0</math> is, wordt gesproken van [[exponentiële afname]], zoals bij de [[demping]] van trillingen en bij [[radioactief]] verval; <math>-k</math> is dan de frequentie waarin <math>x</math> door een factor <math>e</math> gedeeld wordt.
De oplossing van de differentiaalvergelijking is de [[exponentiële functie]]
Als <math>g>1</math> (positieve <math>k</math>) is er sprake van exponentiële groei; als <math>0<g<1</math> (negatieve <math>k</math>) is er sprake van [[exponentiële afname]] (verval).
De continue relatieve groeisnelheid is bijvoorbeeld 0,01 per maand, wat hetzelfde is als 0,12 per jaar. Dit in tegenstelling tot relatieve groei in discrete stappen van een maand of een jaar, in dit geval <math>e^{0,01}-1=0,01005</math> per maand of <math>e^{0,12}-1=0,12750</math> per jaar. De 0,01 per maand en 0,12 per jaar zijn dezelfde grootheid, slechts uitgedrukt in verschillende eenheden, terwijl 0,01005 en 0,12750 twee verschillende dimensieloze grootheden zijn. In het eerste geval betekent "per" een deling, waardoor kan worden omgerekend door te vermenigvuldigen met 12, in het andere geval is "per" een specificatie van de grootheid.
De relatieve groei per tijdseenheid kan in plaats van in de factor <math>g</math> waarmee <math>x</math> per tijdseenheid vermenigvuldigd wordt, ook worden uitgedrukt in de fractie <math>g-1</math> die er per tijdseenheid bijkomt. Deze wordt ook vaak geschreven als percentage, het ''groeipercentage'': <math>x</math> neemt met <math>p\%</math> per tijdseenheid toe, waarbij <math>g=1+\frac{p}{100}.</math> Bij exponentiële afname is <math>p</math> negatief.
Soms wordt het onderscheid tussen de continue relatieve groeisnelheid <math>k</math> en de fractie <math>g-1</math> die er per tijdseenheid bijkomt aangegeven door <math>k</math> te schrijven als fractie en de grootheden <math>g-1</math> op basis van discrete tijdsintervallen als percentage. Verwarrend is dan dat de relatieve groeifactor <math>k</math> ook weleens wordt uitgedrukt in een percentage. Echter, alleen bij een kleine relatieve groei per tijdseenheid (langzame groei of kleine tijdseenheid) zijn de percentages bij benadering gelijk. Dat blijkt uit:
:<math>g = e^k=1+k+\frac{k^2}{2!}+\ldots=1+\frac{p}{100}\to k\approx \frac{p}{100}.</math>
| 