Versie van 18 mei 2020 07:40 bewerken Patrick (overleg \| bijdragen) uitgebreid bevestigde gebruikers 86.136 bewerkingen →‎Groeifactor en groeipercentage ← Oudere bewerking		Versie van 18 mei 2020 08:31 bewerken ongedaan maken Patrick (overleg \| bijdragen) uitgebreid bevestigde gebruikers 86.136 bewerkingen Geen bewerkingssamenvatting Nieuwere bewerking →
Regel 6: Een voorbeeld van enorm groot worden is het verhaal van de bedenker van het [[schaken (hoofdbetekenis)\|schaakspel]]. De koning wilde hem bedanken en zei hem een wens te doen. ''Geef mij één graankorrel op het eerste veld van het bord, twee voor het tweede veld, vier voor het derde en zo steeds het dubbele aantal voor elk volgend veld.'' Het leek de koning een bescheiden wens, maar de totale graanoogst zou niet genoeg zijn. Het aantal graankorrels, <math>2^{64}-1</math>, is een getal van 20 cijfers en weegt zo'n 1,2 [[biljoen]] ton. Een file vrachtwagens die elk 10 ton kunnen vervoeren en 8 meter lang zijn en bij elkaar 1,2 biljoen ton graan aan boord hebben, is zo'n miljard kilometer lang: 23600 maal rond de aarde, 2450 maal naar de [[maan]]. ~~==Verkeerd gebruik==~~ De term exponentiële groei wordt soms verkeerd gebruikt als alleen een snelle groei bedoeld wordt. Regel 14 ⟶ 13: :<math>\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = k x</math> Hierin is <math>k</math> de ~~[[evenredig]]heidsconstante~~''continue relatieve groeisnelheid'' van <math>x</math>, ook te beschrijven als de [[frequentie]] waarin <math>x</math> met een factor <math>e</math> vermenigvuldigd wordt.<ref>Dit gebeurt uiteraard geleidelijk, niet stapsgewijs.</ref> Als <math>k<0</math> is, wordt gesproken van [[exponentiële afname]], zoals bij de [[demping]] van trillingen en bij [[radioactief]] verval; <math>-k</math> is dan de frequentie waarin <math>x</math> door een factor <math>e</math> gedeeld wordt. De oplossing van de differentiaalvergelijking is de [[exponentiële functie]] Regel 21 ⟶ 20: waarin de constante <math>x_0</math> de waarde van de grootheid is voor <math>t=0</math>. ==Relatieve groei per tijdseenheid== ~~==Groeifactor en groeipercentage==~~ De vergelijking voor exponentiële groei kan ook geschreven worden als: :<math>x(t)=x_0\cdot e^{kt}=x_0\cdot g^t</math> Regel 32 ⟶ 31: Als <math>g>1</math> (positieve <math>k</math>) is er sprake van exponentiële groei; als <math>0<g<1</math> (negatieve <math>k</math>) is er sprake van [[exponentiële afname]] (verval). ~~Deze <math>k</math> wordt ook wel de~~De continue relatieve groeisnelheid ~~van een grootheid <math>x</math> genoemd, dit~~ is ~~de groei per tijdseenheid van <math>x</math>, gedeeld door <math>x</math>. "Continu" geeft aan dat het gaat om de momentane groeisnelheid, waardoor~~ bijvoorbeeld 0,01 per maand, wat hetzelfde is als 0,12 per jaar. Dit in tegenstelling tot relatieve groei in discrete stappen van een maand of een jaar, in dit geval <math>e^{0,01}-1=0,01005</math> per maand of <math>e^{0,12}-1=0,12750</math> per jaar. De 0,01 per maand en 0,12 per jaar zijn dezelfde grootheid, slechts uitgedrukt in verschillende eenheden, terwijl 0,01005 en 0,12750 twee verschillende dimensieloze grootheden zijn. In het eerste geval betekent "per" een deling, waardoor kan worden omgerekend door te vermenigvuldigen met 12, in het andere geval is "per" een specificatie van de grootheid.▼ De groeifactor hangt nauw samen met het groeipercentage: <math>g=1+\frac{p}{100}.</math> Bij exponentiële groei neemt <math>x</math> met <math>p\%</math> per tijdseenheid toe. Bij exponentiële afname neemt <math>x</math> met <math>p\%</math> per tijdseenheid af, of anders gezegd, neem <math>x</math> met<math>-p\%</math> per tijdseenheid toe. De relatieve groei per tijdseenheid kan in plaats van in de factor <math>g</math> waarmee <math>x</math> per tijdseenheid vermenigvuldigd wordt, ook worden uitgedrukt in de fractie <math>g-1</math> die er per tijdseenheid bijkomt. Deze wordt ook vaak geschreven als percentage, het ''groeipercentage'': <math>x</math> neemt met <math>p\%</math> per tijdseenheid toe, waarbij <math>g=1+\frac{p}{100}.</math> Bij exponentiële afname is <math>p</math> negatief. De bovenstaande evenredigheidsfactor <math>k</math> is de relatieve groeifactor, oftewel de relatieve groeisnelheid. Deze is immers het quotiënt van de momentane snelheid waarmee <math>x</math> groeit en de momentane waarde van <math>x:</math> ~~:<math>k=\frac{x'(t)}{x(t)}.</math>~~ ▲Deze <math>k</math> wordt ook wel de continue relatieve groeisnelheid van een grootheid <math>x</math> genoemd, dit is de groei per tijdseenheid van <math>x</math>, gedeeld door <math>x</math>. "Continu" geeft aan dat het gaat om de momentane groeisnelheid, waardoor bijvoorbeeld 0,01 per maand hetzelfde is als 0,12 per jaar. Dit in tegenstelling tot relatieve groei in discrete stappen van een maand of een jaar, in dit geval <math>e^{0,01}-1=0,01005</math> per maand of <math>e^{0,12}-1=0,12750</math> per jaar. De 0,01 per maand en 0,12 per jaar zijn dezelfde grootheid, slechts uitgedrukt in verschillende eenheden, terwijl 0,01005 en 0,12750 twee verschillende dimensieloze grootheden zijn. In het eerste geval betekent "per" een deling, waardoor kan worden omgerekend door te vermenigvuldigen met 12, in het andere geval is "per" een specificatie van de grootheid. Soms wordt het onderscheid aangegeven door <math>k</math> te schrijven als fractie en de grootheden op basis van discrete tijdsintervallen als percentage. Verwarrend is dan dat de relatieve groeifactor ook weleens wordt uitgedrukt in een percentage. Echter, alleen kleine relatieve groeifactoren, uitgedrukt als percentage, zijn bij benadering gelijk aan het groeipercentage. Dat blijkt uit:

Exponentiële groei: verschil tussen versies