|
== Onbepaalde integralen ==
In de onderstaande betrekkingen is ''<math>c''</math> een willekeurige [[reëel getal]].
: <math>\int e^{x}\;,\mathrm{d}x = e^{x}</math>
: <math>\int e^{cx}\;,\mathrm{d}x = \frac{1}{c} e^{cx}</math>
: <math>\int a^{cx}\;,\mathrm{d}x = \frac{1}{c\cdot \ln a} a^{cx}</math> voor <math>a > 0,\ a \ne 1</math>
: <math>\int xe^{cx}\; ,\mathrm{d}x = \frac{e^{cx}}{c^2}(cx-1)</math>
: <math>\int x^2 e^{cx}\;,\mathrm{d}x = e^{cx}\left(\frac{x^2}{c}-\frac{2x}{c^2}+\frac{2}{c^3}\right)</math>
: <math>\int x^n e^{cx}\; ,\mathrm{d}x = \frac{1}{c} x^n e^{cx} - \frac{n}{c}\int x^{n-1} e^{cx} \,\mathrm{d}x</math>
: <math>\int\frac{e^{cx}}{x}\; ,\mathrm{d}x = \ln|x| +\sum_{n=1}^\infty\frac{(cx)^n}{n\cdot n!}</math>
: <math>\int\frac{e^{cx}}{x^n}\; ,\mathrm{d}x = \frac{1}{n-1}\left(-\frac{e^{cx}}{x^{n-1}}+c\int\frac{e^{cx} }{x^{n-1}}\,\mathrm{d}x\right) \qquad\mbox{(voor }n\neq 1\mbox{)}</math>
: <math>\int e^{cx}\ln x\; ,\mathrm{d}x = \frac{1}{c}e^{cx}\ln|x|-\operatorname{Ei}\,(cx)</math>
: <math>\int e^{cx}\sin bx\; ,\mathrm{d}x = \frac{e^{cx}}{c^2+b^2}(c\sin bx - b\cos bx)</math>
: <math>\int e^{cx}\cos bx\; ,\mathrm{d}x = \frac{e^{cx}}{c^2+b^2}(c\cos bx + b\sin bx)</math>
: <math>\int e^{cx}\sin^n x\; ,\mathrm{d}x = \frac{e^{cx}\sin^{n-1} x}{c^2+n^2}(c\sin x-n\cos x)+\frac{n(n-1)}{c^2+n^2}\int e^{cx}\sin^{n-2} x\;,\mathrm{d}x</math>
: <math>\int e^{cx}\cos^n x\; ,\mathrm{d}x = \frac{e^{cx}\cos^{n-1} x}{c^2+n^2}(c\cos x+n\sin x)+\frac{n(n-1)}{c^2+n^2}\int e^{cx}\cos^{n-2} x\;,\mathrm{d}x</math>
:<math>\int x e^{c x^2 }\; ,\mathrm{d}x = \frac{1}{2c} \; ,e^{c x^2}</math>
:<math>\int \sqrt{e^{cx}}\; ,\mathrm{d}x = \frac{2\sqrt{e^{cx}}}{c} </math>
:<math>\int \sqrt{e^{cx^n}}\; ,\mathrm{d}x = \frac{\sqrt[n]{2}xe^{-\frac{cx^n}{2}}\sqrt{e^{cx^n}}\Gamma\left(\frac{1}{n}, -\frac{cx^n}{2}\right)}{n\sqrt[n]{-cx^n}} </math>
:<math>\int e^{-c x^2 }\; ,\mathrm{d}x = \sqrt{\frac{\pi}{4c}} \mboxmathrm{erf}(\sqrt{c} x)\quad</math> (<math>\mboxmathrm{erf}</math> is de zogenaamde [[errorfunctie]])
:<math>\int xe^{-c x^2 }\; ,\mathrm{d}x = -\frac{1}{2c}e^{-cx^2} </math>
:<math>\int {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-{(x-\mu )^2 / 2\sigma^2}}\; ,\mathrm{d}x = \frac{1}{2} \left(1 + \mboxmathrm{erf}\,\frac{x-\mu}{\sigma \sqrt{2}}\right)</math>
:<math>\int e^{x^2}\,\mathrm{d}x = e^{x^2}\left( \sum_{j=0}^{n-1}c_{2j}\,\frac{1}{x^{2j+1}} \right )+(2n-1)c_{2n-2} \int \frac{e^{x^2}}{x^{2n}}\;\mathrm{d}x \quad \mbox{geldig als } n > 0, </math>,
::waarbij <math> c_{2j}=\frac{ 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdotsldots (2j-1)}{2^{j+1}}=\frac{(2j)\,!}{j!\, 2^{2j+1}} \ . </math>
:<math> {\int \underbrace{x^{x^{\cdot^{\cdot^{x}}}}}_m \,dx\mathrm{d}x = \sum_{n=0}^m\frac{(-1)^n(n+1)^{n-1}}{n!}\Gamma(n+1,- -\ln x) + \sum_{n=m+1}^\infty(-1)^na_{mn}\Gamma(n+1,-\ln x) \qquad\mbox{(voor }x > 0\mbox{)}}</math>
::waarbij <math>a_{mn}=\begin{cases}1 &\text{als } n = 0, \\ \frac{1}{n!} &\text{als } m=1, \\ \frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}ja_{m,n-j}a_{m-1,j-1} &\text{alle andere gevallen} \end{cases}</math>
== Bepaalde integralen ==
| 