Hopf-bifurcatie: verschil tussen versies

Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Geen bewerkingssamenvatting
W.pseudon (overleg | bijdragen)
Geen bewerkingssamenvatting
Regel 1:
[[Afbeelding:Hopf.png|thumb|250px|Ontstaan van een [[limietcykel]] (blauw) in een Hopf-bifurcatie. Geel en groen: twee oplossingen vanuit steeds hetzelfde beginpunt]]
[[File:Hopfeigenvalues.png|thumb|Hopf-bifurcatie, <math>\text{Re}(\lambda_i)\approx 0</math>]]
 
De '''Hopf-bifurcatie''' of '''Andronov-Hopf-bifurcatie''' is onderdeel van de [[bifurcatietheorie]]. Ze beschrijft hoe in een systeem een stabiele [[stationair punt|stationaire oplossing]] (evenwichtspunt) overgaat in een stabiele [[oscillatie]]. De oplossing oscillatie ontstaat altijd rond het evenwichtspunt. Het evenwichtspunt zelf verdwijnt niet maar wordt wel instabiel.
Regel 7 ⟶ 8:
:<math> \frac{dy}{dt}= -x + p(\lambda-(x^2+y^2))y</math>
 
[[File:Hopfbifurcation.png|thumb|400px|Hopf-bifurcatie 1: superkritisch, 2: subkritisch.]]
Voor p=1 is de Hopf-bifurcatie superkritisch. Voor <math>\lambda<0</math> heeft het systeem dan één stabiel evenwichtspunt bij <math>x=0</math>. Vanuit elke begintoestand zal het systeem naar dit evenwicht convergeren. Voor <math>\lambda>0</math> wordt dit evenwichtspunt onstabiel. Tegelijkertijd ontstaat er een stabiele periodische oplossing op een cirkel met straal <math>\sqrt{\lambda}</math>. Nu zal het systeem vanuit elke begintoestand naar deze oplossing convergeren: het systeem oscilleert. Deze bifurcatie vindt weer plaats bij <math>\lambda=0</math>.