Standaardafwijking: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
k Wijzigingen door 85.150.247.128 (Overleg) hersteld tot de laatste versie door 91.240.117.197 |
Geen bewerkingssamenvatting |
||
Regel 4:
Ook voor een [[steekproef]] uit een populatie of verdeling spreekt men van standaardafwijking, of beter van [[Steekproefvariantie|steekproefstandaardafwijking]], meestal aangeduid met de letter ''s''. Deze grootheid is een [[Schatten|schatting]] van de standaardafwijking in de bijbehorende populatie of verdeling. Voor een steekproef is de variantie (ongeveer) het [[gemiddelde]] van de [[kwadraat|kwadraten]] van de afwijking van de metingen ten opzichte van het gemiddelde van de gegevens.
==Definities==
===Continue kansverdeling===
Voor een continue [[kansverdeling]] met [[kansdichtheid]] <math>f</math> is de ''standaardafwijking'' <math>\sigma</math> gedefinieerd als de wortel uit de [[variantie]], mits deze bestaat:
:<math>\sigma^2=\int_{-\infty}^\infty (x-\mu)^2f(x)\,\mathrm{d}x</math>
Daarin is <math>\mu</math> de [[verwachtingswaarde]], gedefinieerd door:
:<math>\mu=\int_{-\infty}^\infty xf(x)\,\mathrm{d}x</math>,
eveneens mits deze bestaat.
===Discretee kansverdeling===
Voor een discrete [[kansverdeling]] met [[kansfunctie]] <math>p</math> is de ''standaardafwijking'' <math>\sigma</math> analoog gedefinieerd als de wortel uit de [[variantie]], mits deze bestaat:
:<math>\sigma^2=\sum_i (x_i-\mu)^2p(x_i)</math>
Daarin is <math>\mu</math> weer de [[verwachtingswaarde]], gedefinieerd door:
:<math>\mu=\sum_i x_i p(x_i)</math>,
eveneens mits deze bestaat.
===Toevalsvariabele===
Voor een [[toevalsvariabele]] <math>X</math> met kansdichtheid <math>f_X</math> of kansfunctie <math>p_X</math> gelden dezelfde definities met respectievelijk <math>f=f_X</math> of <math>p=p_X</math>. De standaardafwijking wordt dan wel aangegeen met <math>\sigma_X</math>. De beide formules laten zich samenvatten in:
:<math>\operatorname{var}(X)=\sigma_X^2=\operatorname{E}(X-\mu_X)^2</math>,
waarin <math>\mu_X=\operatorname{E}(X)</math> de verwachtingswaarde is van <math>X</math>; alles onder de voorwaarde dat de verwachtingswaarden bestaan.
De laatste formule is ook geldig voor een willekeurige toevalsvariabele.
===Steekproef===
Ook voor een steekproef met uitkomsten <math>x_1,\ldots, x_n</math> is de (steekproef)standaardafwijking gedefinieerd, meestal aangeduid met <math>s</math>, als de wortel uit de (steekproef)variantie:
:<math>s^2=\frac {1}{n-1}\sum_i (x_i-\bar x)^2</math>
Daarin is <math>\bar x=\frac {1}{n}\sum_i x_i</math> het [[steekproefgemiddelde]].
Enigszins verwarrend wordt ook de iets afwijkende grootheid
:<math>s_n^2=\frac {1}{n}\sum_i (x_i-\bar x)^2</math>
aangeduid als steekproefvariantie. (Zie [[Variantie#Steekproef]].)
== Normale verdeling ==
| |||