Cauchyrij: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Geen bewerkingssamenvatting |
onnodige en vooral ook weinig zinnige veranderingen terug BTNI |
||
Regel 1:
[[Afbeelding:Cauchy sequence illustration.png|thumb|De blauwe punten vormen een cauchyrij, die oscilleert tussen de twee rode lijnen
Een '''cauchyrij''', of '''fundamentaalrij''', is in de [[wiskunde]] een [[Rij (wiskunde)|rij]] waarvoor geldt dat als men verder in de rij komt, de elementen van de rij willekeurig dicht in elkaars buurt komen te liggen.
De cauchyrij is genoemd naar de Franse wiskundige [[Augustin Louis Cauchy]] (1789-1857).
Regel 10:
Voor elk [[reëel getal]] <math>\varepsilon >0</math> bestaat er een [[natuurlijk getal]] <math>N</math> zodanig dat voor alle natuurlijke getallen <math>n</math> en <math>m</math> die groter zijn dan <math>N</math>, geldt dat <math>d(x_n,x_m) < \varepsilon</math>.
Deze definitie zegt in woorden dat hoe klein <math>\varepsilon</math> ook
Iedere [[Convergentie (wiskunde)|convergente]] rij is een cauchyrij en iedere cauchyrij is [[Begrensdheid|begrensd]].
Regel 19:
Voor de rij met <math>x_n=\sum_{k=1}^n \frac 1k</math> geldt <math>x_n-x_{n-1}=\frac{1}{n} \;\xrightarrow[n\to \infty]\ \ 0</math>
De rij is echter geen cauchyrij, aangezien <math>|x_{n+m}-x_n|=\sum_{k=n+1}^{n+m} \frac 1k \ge \frac m{n+m}</math>,
dus hoe groot <math>n</math> bij een gegeven <math>\varepsilon<1</math> ook gekozen wordt, er is altijd een <math>m</math> te vinden waarvoor <math>\frac m{n+m}>\varepsilon </math>.
| |||