Cauchyrij: verschil tussen versies

Een '''cauchyrij''' in een [[metrische ruimte]] ''<math>V''</math> met afstandsfunctie ([[Afstand (wiskunde)|metriek]]) ''<math>d''</math> is een rij <math>(x_n)_{n\ge 1} = (x_1,x_2,x_3,\ldots)</math> in ''<math>V''</math> die voldoet aan de volgende voorwaarde:

:Voor elk [[reëel getal]] <math>\varepsilon >0</math> bestaat er een [[natuurlijk getal]] ''<math>N''</math> zodanig dat voor alle natuurlijke getallen ''<math>n''</math> en ''<math>m''</math> die groter zijn dan ''<math>N''</math>, geldt dat <math>d(x_n,x_m) < \varepsilon</math>.

Deze definitie zegt in woorden dat hoe klein je ε<math>\varepsilon</math> ook kiestgekozen wordt, jeer altijd een punt in de rij kuntte vinden is van waaraf de afstand tussen twee willekeurige elementen altijd kleiner is dan ε<math>\varepsilon</math>.

:<math>x_n = \max\{x| x \in \mathbb{Q};\mid 10^{n} x \in \N; x^{2} \leq 2\}</math>

:<math>x_1 = 1.{,}4</math>

:<math>x_2 = 1.{,}41</math>

:<math>x_3 = 1.{,}414</math>

:<math>x_4 = 1.{,}4142</math>

:<math>x_5 = 1.{,}41421</math>

:<math>x_6 = 1.{,}414213</math>

De rij <math>(x_n)</math> is een cauchyrij met elementen in <math>\mathbb{Q}</math>. In <math>\R</math> convergeert <math>x_n</math> naar <math>\sqrt{2}</math>, maar in <math>\mathbb{Q}</math> is <math>(x_n)</math> niet convergent (<math>\sqrt{2}</math> is geen element van <math>\mathbb{Q}</math>, zoals bewezen in het [[bewijs dat wortel 2 irrationaal is]]). We zien dus dat niet iedere cauchyrij in <math>\mathbb{Q}</math> convergent is.

Het begrip cauchyrij speelt een rol in de definitie van een ''volledige'' metrische ruimte. In iedere metrische ruimte is iedere convergente rij tevens een cauchyrij. Een metrische ruimte ''<math>V''</math> wordt ''[[volledig (topologie)|volledig]]'' genoemd als ook omgekeerd elke cauchyrij die binnen die verzameling definieerbaar is, [[convergentie (wiskunde)|convergeert]] (naar een limietwaarde die dus ook binnen die verzameling moet liggen). Het bekendste voorbeeld hiervan zijn de reële getallen; de verzameling <math>\mathbb{R}</math> van de reële getallen is gedefinieerd als de kleinste volledige metrische ruimte die de verzameling <math>\mathbb{Q}</math> van de [[rationaal getal|rationale getallen]] bevat. In <math>\mathbb{R}</math> is elke cauchyrij dus convergent.

Een van de manieren om [[Reëel_getal#Constructie_vanuit_de_rationale_getallen|<math>\mathbb{R}</math> uit <math>\mathbb{Q}</math> te construeren]] is als de verzameling [[equivalentierelatie|equivalentieklassen]] van cauchyrijen in <math>\mathbb{Q}</math>, waarbij twee rijen equivalent zijn als hun verschil naar 0 convergeert.

:<math>x_1,x_2,\ldots,x_n,\ldots \,</math>

heet ''cauchyrij'' als er voor elke ''<math>i''</math> een natuurlijk getal ''<math>N''</math> bestaat zodat voor alle natuurlijke getallen ''<math>n''</math> en ''<math>m''</math> die groter dan ''<math>N''</math> zijn, geldt dat

:<math>x_n-x_m\in B_i</math>.

:<math>\forall x,y,z\in V:d(x,y)=d(x+z,y+z).</math>