Waterstofatoom: verschil tussen versies

6 bytes toegevoegd ,  5 maanden geleden
geen bewerkingssamenvatting
k (Wijzigingen door 213.124.54.171 (Overleg) hersteld tot de laatste versie door XXBlackburnXx)
Label: Terugdraaiing
 
[[Bestand:Hydrogen-1.png|thumb|Het <sup>1</sup>H-atoom in de [[Isotopentabel (compleet)|isotopentabel]]]]
Een '''waterstofatoom''' is een [[atoom]] van het chemische element [[Waterstof (element)|waterstof]]. Het [[Elektrische lading|elektrisch]] neutrale atoom bevat een positief geladen [[Proton (deeltje)|proton]] en een negatief geladen [[elektron]], dat aan de kern wordt gebonden door de [[Wet van Coulomb|coulombkracht]]. De meest voorkomende [[isotoop]], [[protium (isotoop)|protium]] (ook waterstof-1 of lichte waterstof genoemd), bevat geen [[neutron]]en; andere isotopen van waterstof, zoals [[deuterium]] en [[tritium]], bevatten respectievelijk ééneen en twee neutronen.
 
== Waterstofatoom als modelsysteem in de kwantummechanica ==
 
== Oplossing van de schrödingervergelijking ==
De schrödingervergelijking voor de golffunctie <math>\Psi</math> van het elektron dat met constante energie <math>\mathrm E</math> in het Coulombveldcoulombveld van de atoomkern golft, is
 
De schrödingervergelijking voor de golffunctie <math>\Psi</math> van het elektron dat met constante energie <math>\mathrm E</math> in het Coulombveld van de atoomkern golft, is
:<math>
\mathrm E \Psi(\vec r) = - \frac{\hbar^2}{2m_e}\Delta \Psi(\vec r) - \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0} \frac{1}{r}\Psi(\vec r)
</math>.
 
De [[Laplaciaanlaplaciaan]] <math>\Delta</math> wordt uitgeschreven in bolcoördinaten en voor de golffunctie worden de variabelen gescheiden:
<math> \Psi(r,\vartheta,\varphi) = R(r) Y(\vartheta, \varphi ) </math>.
 
De vergelijking kan dan zo geschreven worden dat de linker kantlinkerkant alleen van <math>r</math> afhangt en de rechterkant alleen van de hoekcoördinaten <math>\vartheta, \varphi</math>. Linker en rechterkant zijn dus constant.
De schrödingervergelijking splitstvalt uiteen in twee vergelijkingen, een voor <math>R</math> en een voor <math>Y</math>:
:<math> \frac{\hbar^2}{2m_e} \left[{1 \over r^2}{\partial \over \partial r}\left(r^2 {\partial R(r)\over \partial r}\right) - {l(l+1)R(r)\over r^2} \right] + \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{e^2}{r}R(r) + E R(r) = 0 </math>
en
:<math>\frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left[\sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta}Y(\theta,\varphi)\right] + \frac{1}{\sin^2\theta}\,\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}Y(\theta,\varphi) + l(l+1)Y(\theta,\varphi) = 0</math>.
 
Deze vergelijkingen hebben alleen de constante gemeen die geschreven wordt als <math>l(l+1)</math>. De tweede vergelijking heeft dan voor <math>l=0,1,2,\dotsldots</math> [[sferische harmoniek|bolfuncties]] <math>Y_{lm}</math> als oplossing. Voor elke <math>l</math> zijn er <math>2l+1</math> oplossingen, aangeduid met de index <math>m</math>.
 
De eerste vergelijking wordt omgevormd door een reeks substituties. Dat gaat het eenvoudigst als de vergelijking geschreven wordt in [[atomaire eenheden]]<ref>{{aut|L.D.Landau, E.M. Lifshitz}} (2003) - ''Quantum Mechanics, non-relativistic theory'', Butterworth-Heinemann, par.36</ref>. Substitutie van <math>E=-1/2n^2</math>, <math>r=\rho n/2</math> en vervolgens <math>R=\rho^l e^{-\rho/2}w(\rho)</math> levert ten slotte
 
Het resultaat in gewone eenheden is:
:<math> \Psi_{nlm}(r,\vartheta,\varphi) = R_{nl}(r)\; Y_{lm}(\vartheta, \varphi ) </math>.
:<math> R_{nl}(r) = \sqrt {{\left(\frac{2}{n a_0}\right)}^3\frac{(n-l-1)!}{2n[(n+l)!]} }\; e^{- \rho / 2}\; \rho^{l}\; L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho)</math>
:<math> Y_{lm}(\vartheta, \varphi ) </math> zijn [[sferische harmoniek|sferisch harmonischen]]
:<math>a_0 = \hbar / m_e c\alpha </math> de [[Bohrstraalbohrstraal]] van het H-atoom, <math>\alpha</math> de [[fijnstructuurconstante]], <math>\rho = 2r / n a_0 </math> en
:<math> L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho) </math> [[Laguerre-polynomen|gegeneraliseerde Laguerrelaguerre-polynomen]].
 
De [[Elektronenschil|kwantumgetallen]] kunnen de volgende waarden hebben:
:<math> n=1,2,3,\ldots </math>
:<math>l=0,1,2,\ldots,n-1</math>
:<math>m=-l,\ldots,l.</math>
 
Alleen deze oplossingen van de schrödingervergelijking zijn acceptabele golffuncties: genormeerd, éénwaardigeenwaardig en eindig.
 
=== Energieniveaus ===
De energieniveaus van het elektron hangen alleen van <math>n</math> af
:<math>E_n = - { {m_e c^2\alpha^2}\over {2n^2} } = {E_1 \over n^2} , \; \;quad E_1</math> = - 13{,}6</math> [[elektronvolt|eV]],
 
negatief omdat het energie kost om het elektron uit het atoom te verwijderen.
Ze bepalen het [[waterstofspectrum]]. De frequenties van de Lymanreeks zijn
:<math>(E_n-E_1)/h = \nu_H (1-1/n^2) , \; \;quad</math> voor <math>n>1</math>,
voor de Balmerreeks
:<math>(E_n-E_2)/h = \nu_H (1/4-1/n^2), \; \;quad</math> voor <math>n>2</math>,
 
enz. <math>\nu_H = cR_H \approx</math> 3{,}3</math> [[Elektromagnetisch spectrum|PHz]]; <math>R_H</math> is de Rydbergconstante.
 
=== Golffuncties voor ''n''=1 en ''n''=2 ===
Grondtoestand
:<math>\Psi_{100} = \sqrt{1 \over \pi a_0^3} e^{-r/a_0}</math>
Eerste aangeslagen toestand
:<math>\Psi_{200} = \sqrt{1 \over 32\pi a_0^3} \left(2-{r \over a_0}\right) e^{-r/2a_0}</math>
:<math>\Psi_{210} = \sqrt{1 \over 32\pi a_0^3} \left({r \over a_0}\right) e^{-r/2a_0} \cos \vartheta </math>
:<math>\Psi_{2,1,\pm 1} = \sqrt{1 \over 64\pi a_0^3} \left({r \over a_0}\right) e^{-r/2a_0}\sin \vartheta \; e^{\pm i \varphi} </math>
 
=== Correcties ===
 
== Waterstofachtige ionen ==
 
Het model geldt ook voor 1-elektron ionen He⁺, Li²⁺ enz. met kernlading Ze als in de schrödingervergelijking e² vervangen wordt door Ze². In de oplossing verandert a<sub>0</sub> in a<sub>0</sub>/Z en E<sub>n</sub> krijgt er een factor Z² bij. De energieniveaus zijn dan een factor Z² dieper.