Polynoom: verschil tussen versies

 

In de [[wiskunde]] is een '''polynoom''' of '''veelterm''' de som van het meervoudig [[machtsverheffen]] van een [[variabele]] die gewoonlijk <math>x</math> wordt genoemd. Als formule:

Voorbeelden van [[oneindige verzameling]]en waaruit men de coëfficiënten kan kiezen zijn de [[Natuurlijk getal|natuurlijke getallen]], [[Geheel getal|gehele getallen]], de [[Rationaal getal|rationale getallen]], de [[Reëel getal|reële getallen]] en [[Complex getal|complexe getallen]]. We spreken dan van polynomen over <math>\N</math>, <math>\Z</math>, <math>\mathbb{Q}</math>, <math>\R</math> of <math>\mathbb{C}</math>. Wanneer de coëfficiënten van een polynoom <math>f</math> uit een van deze verzamelingen worden gekozen en de [[variabele]] <math>x</math> uit <math>\mathbb{C}</math>, heet <math>f</math> een [[holomorfe functie]].

 

Voor het [[Domein (wiskunde)|domein]] van polynomen wordt in het algemeen de verzameling van de reële getallen <math>\R</math> of de complexe getallen <math>\mathbb{C}</math> genomen. Voor berekeningen in de [[algebra]] is het meestal niet nodig aan te geven, over welk domein een polynoom is gedefinieerd. De verzamelingen polynomen die bij de verschillende soorten coëfficiënten horen, vormen steeds een [[Ring (wiskunde)|ring]]. Een ring van polynomen heet een [[veeltermring]].

 

Een [[Breuk (wiskunde)|breuk]] van twee polynomen heet een [[rationale functie]].

 

Het [[criterium van Eisenstein]] geeft er een voldoende voorwaarde voor, dat een polynoom met gehele coëfficienten [[irreducibel]] is. Een polynoom die aan het criterium voldoet, is irreducibel over de rationale getallen, en daarmee ook over de gehele getallen.

 

=== Voorbeeld ===

x+1 / 4x³+5x²+3x+2 \ 4x²+x+2

 

Dus is <math>4x^3 +5x^2+3x+2 = (4x^2+x+2)(x+1)</math>.

: <math>4(-1)^3 + 5(-1)^2 + 3(-1) + 2 = -4+5-3+2 = 0</math>,

 

: <math>4532 = 4\times 10^3 + 5\times 10^2 + 3\times 10 + 2 = 0 \pmod{11}</math>.

 

De [[karakteristieke polynoom]] <math>P_A</math> van een [[Vierkante matrix|vierkante]] <math>n\times n</math>-matrix <math>A</math> is

 

 

* Det de [[determinant]] voorstelt

* <math>I_n</math> de <math>n\times n</math>-[[eenheidsmatrix]]

waarin ten minste een van de coëfficiënten <math>a_{n,k_1,...,k_n}</math> ongelijk is aan 0. Men spreekt wel van multinomiale functies. Zo'n veelterm kan ook geschreven worden als:

 

 

waarin slechts eindig veel coëfficiënten ongelijk aan 0 zijn. De hoogste voorkomende macht <math>m_i</math> heet de graad van de variabele <math>x_i</math>. Het getal <math>m_1+\dots +m_n</math> heet de graad van de term <math>a_{m_1,\dots ,m_n} x_1^{m_1}\cdots x_n^{m_n}</math>. Het maximum van de graden van de afzonderlijke termen heet de graad van de polynoom.

Er bestaan polynomen <math>f(x)</math>, <math>x \in \N</math>, die voor de eerste waarden van <math>x</math> een priemgetal zijn.<ref>{{en}} [[MathWorld]]. [http://mathworld.wolfram.com/Prime-GeneratingPolynomial.html Prime-Generating Polynomial].</ref>

 

 

: <math> (k + 2)\big[1 - </math>

In het artikel van Jones, Sata, Wado en Wiens wordt bewezen, dat voor alle combinaties <math>a</math> tot en met <math>z</math> waarvoor alle termen in de tweede factor vanaf de tweede inderdaad gelijk aan 0 zijn, <math>k+2</math> altijd een priemgetal is en dat alle priemgetallen een keer als <math>k+2</math> in een dergelijke combinatie voorkomen. Er moet om tot een positieve uitkomst te komen een stelsel van [[diofantische vergelijking]]en worden opgelost.

 

 

== Speciale polynomen ==

* [[Knoopveelterm]]

* [[Laguerre-polynoom]]

* [[Laurent-veelterm]]

* [[Legendre-polynoom]]

 

{{Appendix}}

{{Commons|Polynomial|Polynoom}}