Zwaartepunt: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Geen bewerkingssamenvatting |
k |{{Largethumb}}| is redundant, gebruik voortaan |thumb| |
||
Regel 1:
{{
Het '''zwaartepunt''' van een object is het punt ten opzichte waarvan de [[Massa (natuurkunde)|massa]] van dat object in [[evenwicht]] is. In dit punt wordt in de [[natuurkunde]] de [[zwaartekracht]] gedacht aan te grijpen, als zij wordt voorgesteld als een [[puntlast]]. De termen gewichtszwaartepunt en massazwaartepunt worden soms gebruikt om deze [[definitie]] te onderscheiden van die van het geometrisch zwaartepunt.
Het geometrisch zwaartepunt van een driedimensionaal object is het punt waar omheen het [[Inhoud (volume)|volume]] gelijk is verdeeld. Formeel is dit het [[snijpunt]] van alle [[Plat vlak|vlakken]] die het object in twee even grote delen verdelen. Voor een [[Driehoek (meetkunde)|driehoek]] is dit het [[snijpunt]] van de drie [[zwaartelijn]]en, die elk van een van de [[Hoekpunt (meetkunde)|hoekpunten]] naar het midden van de tegenovergelegen [[zijde (meetkunde)|zijde]] lopen.
Regel 10:
== Wiskundige definitie ==
[[Bestand:Zwaartepuntbepaling.png|
Indien de oppervlakte <math>A</math> van een begrensd gebied <math>G</math> van het tweedimensionale vlak berekenbaar is, kan het zwaartepunt van het gebied <math>G</math> bepaald worden via de formule:
Regel 16:
:<math>x_Z = \frac 1A \int_G x\,\mathrm{d}A, \quad y_Z = \frac 1 A \int_G y\, \mathrm{d}A</math>
Hierbij wordt een [[infinitesimaal]] klein deeltje met oppervlakte <math>\mathrm{d}A</math> uit het binnengebied van gebied <math>G</math> genomen.
De oppervlakte van dit deeltje wordt dan vermenigvuldigd met de x- resp. de y-coördinaat van het zwaartepunt van het deeltje.
Doordat het deeltje oneindig klein is, is het een punt. Hierdoor zijn de coördinaten van het zwaartepunt gelijk aan de coördinaten van het deeltje. Dit wordt dan geïntegreerd over het volledige binnengebied van <math>G.</math> Deze term wordt ook het [[statisch moment]], in de x-richting resp. in de y-richting, genoemd.
Door deze term door de oppervlakte van <math>G</math> te delen, verkrijgt men de x- resp. de y-coördinaat van het zwaartepunt van <math>G.</math>
Meer algemeen kan men analoog het zwaartepunt van een deelverzameling van de [[Euclidische ruimte]] van willekeurige dimensie bekijken. Het bestaat niet voor elke deelverzameling: er zijn deelverzamelingen waarbij de integralen niet alle bestaan, of waarbij we oneindig door oneindig of nul door nul zouden moeten delen. Bij een kromme in de twee- of meerdimensionale ruimte of een oppervlak in de driedimensionale ruimte moet de definitie aangepast worden (overeenkomend met een "massa" per lengte- of oppervlakte-eenheid) om niet nul gedeeld door nul te krijgen.
Regel 34:
:<math>x_Z = \frac{1}{HB} \int_0^B x\,H\,\mathrm{d}x = \frac{1}{HB} H \frac{B^2}{2} = \frac B2</math>
Op analoge wijze kan ook <math>y_Z</math> bepaald worden:
:<math>y_Z = \frac H2</math>
| |||