Topologische groep: verschil tussen versies

598 bytes toegevoegd ,  2 jaar geleden
Hausdorff, samengevatte definitie, Liegroep
(Hausdorff, samengevatte definitie, Liegroep)
In de [[wiskunde]] zijn de '''topologische groepen''' tegelijkertijd [[Groep (wiskunde)|groepen]] en [[topologische ruimte]]n zodanig dat de groepsstructuur en de topologische structuur compatibel zijn. Concreet betekent dit voor een groep ''<math>(G,*)''</math> dat de vermenigvuldiging en de inversie [[Continue functie (analyse)|continu]] zijn.
 
In deze definitie wordt de vermenigvuldiging opgevat als een afbeelding van het [[Cartesisch product]] ''<math>G''x''\times G''</math>, uitgerust met de [[producttopologie]], naar ''<math>G''</math> zelf.
 
Veel auteurs eisen dat <math>G</math> als topologische ruimte een [[Hausdorff-ruimte]] is.
 
De continuïteit van zowel vermenigvuldiging als inversie kan worden samengevat in de eis dat de afbeelding
 
:<math>G\times G\to G:(x,y)\mapsto xy^{-1}</math>
 
continu is.<ref name="sagle">Hoofdstuk 3 in Sagle, Arthur A. en Walde, Ralph E., "Introduction to Lie Groups and Lie Algebras," Pure and Applied Mathematics '''51''', Academic Press 1973.</ref>
 
== Voorbeelden ==
 
* Beschouw ''(R<sub>0</sub>,*)'', de reële rechte, doorprikt in de oorsprong en voorzien van de [[Vermenigvuldigen|vermenigvuldiging]]. Dan is dit een groep. De bewerkingen (de vermenigvuldiging en de multiplicatieve inversie) zijn continu voor de standaardtopologie. In het bijzonder hebben we te maken met een topologische groep. Op een geheel analoge manier kunnen we ''(C<sub>0</sub>,*)'', het complexe vlak zonder de oorsprong voorzien van de vermenigvuldiging en de standaardtopologie, bekijken als een topologische groep.
 
* De vorige twee voorbeelden zijn allebei [[Liegroep]]en. Elke Liegroep is vanzelf een topologische groep.
 
== Constructies ==
* [[Topologische vectorruimte]]n hebben een continue (en zelfs abelse) groepsbewerking, de optelling van vectoren.
* [[Morfisme]]n, [[isomorfisme]]n en [[homeomorfisme]]n.
 
{{Appendix}}
 
{{DEFAULTSORT:Topologische groep}}
2.424

bewerkingen