Van Kleef speelde in de jeugd van [[SV Houtwijk]], [[VELO (voetbal)|VELO]] en [[Haaglandia]], alvorens hij in de opleiding van [[ADO Den Haag]] terechtkwam. Bij deze club tekende hij medio 2019 een contract voor twee seizoenen, nadat hij in de voorbereiding vierdrie keer gescoord had in het eerste elftal.<ref>[https://adodenhaag.nl/nl/nieuws/laatste-nieuws/1e-elftal/7927-lorenzo-van-kleef-tot-medio-2021-in-haagse-dienst Lorenzo van Kleef tot medio 2021 in Haagse dienst] ADO Den Haag, 17 juli 2019</ref> Op 11 augustus 2019 maakte de middenvelder zijn officiële debuut voor ADO. Op bezoek bij [[PSV (voetbalclub)|PSV]] kwam de Haagse club op voorsprong door een treffer van [[Tomáš Necid]] maar doelpunten van [[Armindo Tué Na Bangna|Bruma]], [[Donyell Malen]] en [[Cody Gakpo]] zorgden voor een overwinning van PSV: 3–1. Van Kleef begon aan de wedstrijd als reservespeler en mocht zestien minuten voor het einde van de wedstrijd invallen voor [[Erik Falkenburg]].<ref>[https://www.omroepwest.nl/nieuws/3875838/ADO-debutant-Lorenzo-van-Kleef-blijft-lachen-ondanks-verlies-tegen-PSV ADO-debutant Lorenzo van Kleef blijft lachen ondanks verlies tegen PSV] Omroep West, 11 augustus 2019</ref>
