Wikipedia

Regelmatige veelhoek: verschil tussen versies

Interactief door geschiedenis bladeren
← Oudere bewerkingNieuwere bewerking →
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
VisueelWikitekst
Geen bewerkingssamenvatting
tekst boven afbeeldingen en lijsten
Regel 1:
Een '''regelmatige veelhoek''' is in de [[meetkunde]] een [[veelhoek]] waarvan de [[Zijde (meetkunde)|zijden]] alle dezelfde [[Lengte (meetkunde)|lengte]] hebben, en alle [[Hoek (meetkunde)|hoeken]] aan elkaar gelijk zijn. Een regelmatige <math>n</math>-hoek is dus opgebouwd uit <math>n</math> paarsgewijs met elkaar verbonden even lange lijnstukken die <math>n</math> keer dezelfde hoek met elkaar maken. De hoekpunten liggen op een [[cirkel]].
 
Het zijn de [[gelijkzijdige driehoek]], het [[Vierkant (meetkunde)|vierkant]], de [[regelmatige vijfhoek]], [[regelmatige zeshoek]] enzovoort.
Een regelmatige <math>n</math>-hoek is dus opgebouwd uit <math>n</math> paarsgewijs met elkaar verbonden even lange lijnstukken die <math>n</math> keer dezelfde hoek met elkaar maken. De hoekpunten liggen op een [[cirkel]].
 
Een regelmatige <math>n</math>-hoek is [[Constructie met passer en liniaal|construeerbaar met passer en liniaal]] [[dan en slechts dan als]] de oneven [[priemfactor]]en van <math>n</math> allemaal verschillende [[Fermat-priemgetal]]len zijn, of als <math>n</math> een macht is van <math>2</math>, (groter dan <math>2</math>). De enige bekende Fermat-priemgetallen zijn <math>3, 5, 17, 257</math> en <math>65537</math>.▼
{| {{Galerij rechts}}
| {{Galerijbestand|Regular triangle.svg|gelijkzijdige driehoek}}▼
|-
| {{Galerijbestand|Kvadrato.svg|vierkant}}
|-
| {{Galerijbestand|Pentagon.svg|regelmatige vijfhoek}}▼
|-
| {{Galerijbestand|Apothem_of_hexagon.svg|regelmatige zeshoek}}▼
|}
Voorbeelden zijn:
* [[gelijkzijdige driehoek]]
* [[vierkant (meetkunde)|vierkant]]▼
* [[regelmatige vijfhoek]]
* [[regelmatige zeshoek]]
 
== Grootte van de hoeken ==
De grootte van de hoeken tussen twee verbonden zijden van de regelmatige <math>n</math>-hoek is af te leiden door een willekeurig [[punt (meetkunde)|punt]] binnen de <math>n</math>-hoek te nemen, en van daaruit <math>n</math> lijnstukken te trekken naar de [[hoekpuntHoekpunt (meetkunde)|hoekpunthoekpunten]]en. Hierdoor ontstaan <math>n</math> [[driehoekDriehoek (meetkunde)|driehoeken]]. De som van de hoeken van iedere driehoek is 180°. Bij elkaar opgeteld leveren de hoeken van de <math>n</math> driehoeken een totaal van <math>n \cdot 180^\circ</math>. Hiervan bevindt zich, (na aftrekken van de hoeken die samenkomen bij het inwendige punt), <math>n \cdot 180^\circ-360^\circ =(n-2)\cdot 180^\circ</math> langs de [[randRand (topologie)|randen]] van de veelhoek. Omdat alle <math>n</math> hoeken van de veelhoek even groot zijn, is de grootte van elke hoek gelijk aan
: <math>\frac{n \cdot 180^\circ - 360^\circ}{n} = 180^\circ - \frac{360^\circ}{n}</math>
 
<gallery>
{| class="wikitable"▼
▲| {{Galerijbestand|Regular triangle.svg|[[gelijkzijdige driehoek}}]]
! Naam
▲* Kvadrato.svg|[[vierkantVierkant (meetkunde)|vierkant]]
! Griekse naam▼
▲| {{Galerijbestand|Pentagon.svg|[[regelmatige vijfhoek}}]]
! Aantal zijden▼
▲| {{Galerijbestand|Apothem_of_hexagon.svg|[[regelmatige zeshoek}}]] met [[apothema]]
! Hoek van regelmatige veelhoek
</gallery>
! Som der hoeken▼
 
|-
▲{| class="wikitable" style="text-align:centre;"
| eenhoek || monogoon || 1 || onbepaald || onbepaald
! colspan="4" | de regelmatige veelhoeken
|-
▲! Griekse naam
| tweehoek || digoon || 2 || 0° || 0°
▲! Aantalaantal zijden
! hoek
▲! Somsom der hoeken
|-
| [[Gelijkzijdige driehoek (meetkunde)|driehoek]] || trigoon || 3 || 60° || 180°
|-
| [[vierhoekVierkant (meetkunde)|vierkant]] || tetragoon || 4 || 90° || 360°
|-
| [[Regelmatige vijfhoek|vijfhoek]] || pentagoon || 5 || 108° || 540°
|-
| [[Regelmatige zeshoek|zeshoek]] || hexagoon || 6 || 120° || 720°
|-
| [[zevenhoek]] || heptagoon || 7 || ca.± 128,6° || 900°
|-
| [[achthoek]] || octagoon || 8 || 135° || 1080°
|-
| [[negenhoek]] || nonagoon<br />enneagoon || 9 || 140° || 1260°
|-
| [[tienhoek]] || decagoon || 10 ||144° ||1440°
|-
| [[elfhoek]] || hendecagoon || 11 || ca.± 147,3° || 1620°
|-
| [[twaalfhoek]] || dodecagoon || 12 || 150° || 1800°
|-
| [[dertienhoek]] || triskaidecagoon || 13 || ca.± 152,308° || 1980°
|-
| [[veertienhoek]] || tetradecagoon || 14 || ca.± 154,285° || 2160°
|-
| [[vijftienhoek]] || pentadecagoon || 15 || 156° || 2340°
|-
| [[zestienhoek]] || hexadecagoon || 16 || 157,5° || 2520°
|-
| [[zeventienhoek]] || heptadecagoon || 17 || ca.± 158,82° || 2700°
|-
| [[achttienhoek]] || octadecagoon || 18 || 160° || 2880°
|-
| [[negentienhoek]] || nonadecagoon<br />enneadecagoon || 19 || ca.± 161,052° || 3060°
|-
| [[twintighoek]] || icosagoon || 20 || 162° || 3240°
|}
 
Het [[Grieks]] voor hoek is {{Polytonic|Γωνία}}, gonia. De namen voor de verschillende veelhoeken in het Grieks waren het telwoord met daarachter gonia. Die namen hebben de regelmatige veelhoeken in het [[Engels]] vanaf de vijfhoek nog steeds.
== Construeerbaarheid ==
▲Een regelmatige <math>n</math>-hoek is [[Constructie met passer en liniaal|construeerbaar met passer en liniaal]] [[dan en slechts dan als]] de oneven [[priemfactor]]en van <math>n</math> allemaal verschillende [[Fermat-priemgetal]]len zijn, of als <math>n</math> een macht is van <math>2</math> (groter dan <math>2</math>). De enige bekende Fermat-priemgetallen zijn <math>3, 5, 17, 257</math> en <math>65537</math>.
 
== Zie ookGelijkend ==
* Een [[sterveelhoek]] is ook een regelmatige figuur in het platte vlak waarvan de hoekpunten ook op een cirkel liggen, maar de zijden van een sterveelhoek doorsnijden elkaar.
* [[sterveelhoek]]
* Een [[regelmatig veelvlak]] is een regelmatige figuur in drie [[Dimensie (algemeen)|dimensies]], waarvan de zijvlakken regelmatige veelhoeken zijn en waarvan alle hoekpunten op een bol liggen.
* [[regelmatige polytoop]]
* [[apothema]]
* [[regelmatig veelvlak]]
* [[veelhoek]]
* [[Symmetriegroep#2D|de symmetrie van een regelmatige veelhoek]]
 
[[Categorie:Veelhoek| Regelmatige veelhoek]]
Overgenomen van "https://nl.wikipedia.org/wiki/Regelmatige_veelhoek"