Ordinaalgetal: verschil tussen versies

Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Regel 6:
 
*Een ''beginsegment'' van een welgeordende verzameling <math>(X,\leq)</math> is een verzameling <math>X_a = \{x \in X|x<a\}</math>.
 
*Een '''ordinaal''' is een welgeordende verzameling <math>(X,\leq)</math> waarvoor geldt dat <math>a = X_a </math> voor alle <math>a</math> in <math>X</math>, dus een welgeordende verzameling waarvan ieder element zijn eigen beginsegment is.
 
==Successorordinaal==
Bij iedere ordinaal <math>\alpha</math> kan een nieuwe ordinaal, de ''successorordinaal'', <math>\alpha + 1=\alpha \cup \{\alpha\}</math> gevonden worden.
 
Uitgaande van de lege verzameling ontstaan zo de [[Natuurlijk_getalNatuurlijk getal#Binnen_de_verzamelingenleerBinnen de verzamelingenleer|verzamelingtheoretische voorstellingen van de natuurlijke getallen]] (waarbij &empty; staat voor de [[lege verzameling]]):
* 0 = ∅
* 1 = {0} = {∅}
Regel 62 ⟶ 61:
 
==Verdere bespreking==
Ordinaalgetallen werden in 1897 door [[Georg Cantor]]<ref>[[Georg Cantor]], ''Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre. II'' (vert.: Bijdragen aan de grondslagen van de theorie van de transfiniete getallen II), [[Mathematische Annalen]] 49 (1897), 207-­246. [http://www.archive.org/details/117770262 Vertaling] in het [[Engels]]]. Citaat uit [[Akihiro Kanamori]], [http://math.bu.edu/people/aki/14.pdf ''Set Theory from Cantor to Cohen'' (Verzamelingenleer van Cantor tot Cohen)]</ref> ingevoerd om [[oneindige verzameling|oneindige]] [[rij (wiskunde)|rij]]en te beschrijven en aan te kunnen geven hoe [[ordetheorie|geordende]] [[verzameling (wiskunde)|verzameling]]en zich tot elkaar verhouden<ref>Voor diepgaande inleidingen zie Levy (1979) en Sacks (2003)</ref>.
 
Algemeen is een ordinaalgetal het [[ordetype]] van een welgeordende verzameling. Ordinaalgetallen worden meestal geïdentificeerd met [[Deelruimtetopologie|erfelijk]] [[transitieve verzameling]]en. Ordinalen vormen een uitbreiding van de [[natuurlijk getal|natuurlijke getal]]len, die echter zowel van de [[geheel getal|gehele getal]]len als van de [[kardinaalgetal]]len verschillen. Net als andere soorten getallen kunnen ordinalen worden opgeteld, vermenigvuldigd, en geëxponentieerd. De eindige ordinalen (en de eindige kardinalen) zijn de natuurlijke getallen: 0, 1, 2, ..., dit aangezien elke twee totaalordeningen van een eindige verzameling [[orde-isomorfie|orde-isomorf]] zijn.