Permutatie: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Geen bewerkingssamenvatting |
Geen bewerkingssamenvatting |
||
Regel 51:
==Even en oneven permutaties==
Elke permutatie van een [[eindige verzameling]] kan geschreven worden als een [[Functiecompositie|samenstelling]] van een [[Eindige verzameling|eindig]] aantal verwisselingen. Deze schrijfwijze is niet uniek, maar de ''[[pariteit]]'' van het aantal verwisselingen is wel onveranderlijk. Een ''[[even]]'' permutatie is een samenstelling van een even aantal verwisselingen, een ''oneven'' permutatie is een samenstelling van een oneven aantal verwisselingen
Een eigenschap (en gelijkwaardige definitie) is dat een permutatie van <math>(1, 2, 3,\ldots , n)</math> naar de volgorde <math>(c_1, c_2, c_3,\ldots , c_n)</math> even resp. oneven is als het aantal paren <math>(i,j)</math> met <math>i<j</math> waarvoor in de nieuwe volgorde de <math>i</math> op enige plaats na de <math>j</math> komt, dus niet in de oorspronkelijke onderlinge volgorde, even resp. oneven is.
De identieke permutatie is even, elke verwisseling is oneven. Van iedere verzameling met minstens twee elementen is de helft van de permutaties even.
De ''[[alternerende groep]] op <math>n</math> elementen'', genoteerd <math>\mathcal{A}_n</math>, is de [[ondergroep (wiskunde)|deelgroep]] van <math>\mathcal{S}_n</math> die bestaat uit de even permutaties.
Een [[cykel (wiskunde)|cykel]] van tenminste lengte 2 is een even permutatie als de lengte oneven is, en omgekeerd.
Het ''teken'' van een permutatie is 1 als deze even is, en -1 als deze oneven is, overeenkomstig het verheffen van -1 tot een even of oneven macht. Het teken van de samenstelling van permutaties is het product van de tekens van de afzonderlijke permutaties. Ook is het zo dat het even of oneven zijn van de samenstelling van permutaties overeenkomt met het even of oneven zijn van de som van getallen die even of oneven zijn overeenkomstig de samenstellende permutaties; de samenstelling van twee oneven permutaties is bijvoorbeeld even, net zoals de som van twee oneven getallen even is.
Voorbeeld:
| |||