Vierkantswortel: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Tekst vervangen door "kenker" Labels: Vervangen Misbruikfilter: Leeghalen |
Versie 53743254 van 84.198.160.98 (overleg) ongedaan gemaakt. Label: Ongedaan maken |
||
Regel 1:
De '''vierkantswortel''', '''tweedemachtswortel''' of ook eenvoudigweg '''wortel''', is het eenvoudigste voorbeeld van het wiskundige begrip ''[[wortel (wiskunde)|wortel]]''.
== Definitie ==
De ''vierkantswortel'' van een niet-negatief [[reëel getal]] <math>a</math>, genoteerd als <math>\sqrt{a}</math>, is het niet-negatieve getal <math>b</math> waarvan het [[kwadraat]] gelijk is aan <math>a</math>, dus:
:<math>\sqrt{a}=b\ \Harr\ b \ge 0 \wedge b^2=a</math>.
Niet-negatief betekent 0 of groter dan 0. In principe zou een vierkantswortel ook een negatief reëel getal ''b'' kunnen zijn: het kwadraat levert dezelfde ''a'' op omdat min maal min plus is. Maar om dubbelzinnigheid over het [[teken (wiskunde)|teken]] (positief of negatief) uit te sluiten, is de vierkantswortel per definitie een niet-negatief getal.
== Oplossen van vergelijkingen ==
Het oplossen van vergelijkingen is iets anders dan worteltrekken. De vergelijking <math> x^2 = a</math> met ''a'' > 0 heeft twee oplossingen, namelijk <math>x_1 = \sqrt{a}</math> en <math>x_2 = -\sqrt{a}</math>. Deze kunnen ook genoteerd worden als <math>x_{1,2}=\pm\sqrt{a}</math>.<br />
Bijvoorbeeld <math> x^2 = 2</math> heeft twee oplossingen: <math> x_{1,2} = \pm \sqrt2 = \pm 1,\!4142..</math>..
== Definitiegebied ==
Binnen de reële getallen is de vierkantswortel uitsluitend gedefinieerd voor <math>a \ge 0</math>. De vierkantswortel van een negatief getal bestaat dus niet binnen de reële getallen, maar wel binnen de [[complex getal|complexe getallen]].
== Oorsprong van de naam ==
De naam ''vierkantswortel'' houdt verband met de oorspronkelijke constructie uit de [[meetkunde]]. Een getal werd ruimtelijk voorgesteld als de lengte van een [[lijnstuk]], een [[Vlak (meetkunde)|oppervlak]] of een [[inhoud (volume)|inhoud]]. Een [[vierkant (meetkunde)|vierkant]] met [[oppervlakte]] <math>a</math> heeft zijden met [[lengte (meetkunde)|lengte]] <math>\sqrt{a}</math>. De vierkantswortel trekken wordt dan de zijde van een vierkant vinden. De [[derdemachtswortel]] heette ook de cubische wortel of [[Kubus (ruimtelijke figuur)|teerlingswortel]], omdat aan het vinden van de ribbe van een blok (kubus of teerling) gedacht werd.
[[Bestand:Square root.png|thumb|400px|right|Grafiek van de functie <math>f(x) = \sqrt x</math>, bestaande uit een liggende halve [[parabool (wiskunde)|parabool]] met een verticale [[directrix]].]]
=== Wortel als functie ===
Om een [[Continue functie (analyse)|continue]] [[Differentieerbaarheid|differentieerbare]] [[Functie (wiskunde)|functie]] te definiëren, beperkt men de wortel als functie tot de [[absolute waarde]] waarbij negatieve wortels dus niet zijn toegestaan.
Voor alle reële getallen <math>x</math>
::<math>
\sqrt{x^2} = \left|x\right| =
\begin{cases}
x, & \mbox{als }x \ge 0 \\
-x, & \mbox{als }x \le 0
\end{cases}
</math>
== Elementaire voorbeelden ==
Enkele voorbeelden van vierkantswortels zijn:
* <math>\sqrt{9} = 3</math>
* <math>\sqrt{25} = 5</math>
* <math>\sqrt{144} = 12</math>
* <math>\sqrt{6,\!25} = 2,\!5</math> want 2,5<sup>2</sup> = 6,25
* <math>\sqrt{4\ 294\ 967\ 296} = 65\ 536</math>
* <math>\sqrt{\tfrac19} = \tfrac13</math> want <math>\left(\tfrac13\right)^2 = \tfrac19</math>
== Speciale gevallen ==
Speciale gevallen zijn:
* <math>\sqrt{0} = 0 </math>
* <math>\sqrt{1} = 1 </math>
== Rekenregels ==
Bij het werken met vierkantswortels kan gebruik worden gemaakt van de volgende rekenregels, die in wezen dezelfde zijn:
:<math>\sqrt{xy} = \sqrt{x} \sqrt{y}</math>
:<math>\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}</math>
Men moet de bovenstaande rekenregel uiteraard niet toepassen op getallen waarvoor de wortel niet gedefinieerd is. Uit een [[imaginaire eenheid#Opmerking|voorbeeld]] blijkt dat anders merkwaardige resultaten kunnen ontstaan.
Let op!
:<math>\sqrt{x}+\sqrt{y}</math> is '''niet''' gelijk aan <math>\sqrt{x+y}</math>
== Verband wortelfunctie met absolute waarde ==
:<math>\sqrt{x^2} = \left|x\right|</math> voor elk [[reëel getal]] ''x'' (zie [[absolute waarde]])
== Verband met gebroken macht ==
Voor alle niet-negatieve [[Reëel getal|reële getallen]] mag de volgende notatie worden toegepast:
:<math>\sqrt{x} = x^{\frac12}</math>
Voor de exponent <math>\tfrac12</math> en veelvouden daarvan, zijn alle voor het [[machtsverheffen]] geldende [[machtsverheffen#Rekenen met machten|rekenregels]] van toepassing.
== Verband met algebraïsche, complexe en irrationale getallen ==
Iedere vierkantswortel van een niet-negatief [[geheel getal]] valt onder de [[algebraïsch getal|algebraïsche getallen]], en is geheel als dat getal een kwadraat is, en anders [[irrationaal getal|irrationaal]]. Voor <math>\sqrt{2}</math> [[bewijs dat wortel 2 irrationaal is|hier het bewijs]] dat het geen rationaal getal is.
Van een [[negatief (wiskunde)|negatief]] getal kan geen reële vierkantswortel worden berekend. Uit de behoefte om toch een vergelijkbare bewerking op negatieve getallen uit te kunnen voeren, zijn de [[complex getal|complexe getallen]] ontstaan.
Op het domein van de complexe getallen heeft bijvoorbeeld het getal −1 ''twee'' vierkantswortels, [[imaginaire eenheid|''i'']] en −''i''.
Met die conventie heeft de vergelijking <math>x^2 = a</math> met a < 0 en <math>a \in \R</math> (reële getallen) als oplossingen <math>\sqrt{-a} \cdot i</math> en <math>- \sqrt{-a} \cdot i</math>.
Voorbeeld: de vergelijking <math>x^2 = -3</math> heeft als oplossingen <math>\sqrt{3} \cdot i</math> en <math>-\sqrt{3} \cdot i</math>.
Met behulp van complexe getallen kan op deze wijze een oplossing worden geconstrueerd van de [[wortelformule|abc-formule]] in het geval van een negatieve discriminant D.
== Worteltrekken ==
Het bepalen van de vierkantswortel wordt [[worteltrekken]] genoemd. Er bestaat een [[algoritme]] om dit met de hand uit te voeren (zie [[worteltrekken]]). De procedure, die lijkt op de klassieke [[staartdeling]], staat al vermeld in Nederlandse rekenboeken uit de [[17e eeuw]].
Ook de [[derdemachtswortel]] kan met de hand worden getrokken.
== Benaderingen van de vierkantswortels uit de getallen 1 t/m 50 ==
::{| class="wikitable vatop"
| <math>\sqrt{ 1} = 1 </math> || <math>\sqrt{11} \approx 3,\!3166</math> || <math>\sqrt{21} \approx 4,\!5826</math> || <math>\sqrt{31} \approx 5,\!5678</math> || <math>\sqrt{41} \approx 6,\!4031</math>
|-
| <math>\sqrt{ 2} \approx 1,\!4142</math> || <math>\sqrt{12} \approx 3,\!4641</math> || <math>\sqrt{22} \approx 4,\!6904</math> || <math>\sqrt{32} \approx 5,\!6569</math> || <math>\sqrt{42} \approx 6,\!4807</math>
|-
| <math>\sqrt{ 3} \approx 1,\!7321</math> || <math>\sqrt{13} \approx 3,\!6056</math> || <math>\sqrt{23} \approx 4,\!7958</math> || <math>\sqrt{33} \approx 5,\!7446</math> || <math>\sqrt{43} \approx 6,\!5574</math>
|-
| <math>\sqrt{ 4} = 2 </math> || <math>\sqrt{14} \approx 3,\!7417</math> || <math>\sqrt{24} \approx 4,\!8990</math> || <math>\sqrt{34} \approx 5,\!8310</math> || <math>\sqrt{44} \approx 6,\!6332</math>
|-
| <math>\sqrt{ 5} \approx 2,\!2361</math> || <math>\sqrt{15} \approx 3,\!8730</math> || <math>\sqrt{25} = 5 </math> || <math>\sqrt{35} \approx 5,\!9161</math> || <math>\sqrt{45} \approx 6,\!7082</math>
|-
| <math>\sqrt{ 6} \approx 2,\!4495</math> || <math>\sqrt{16} = 4 </math> || <math>\sqrt{26} \approx 5,\!0990</math> || <math>\sqrt{36} = 6</math> || <math>\sqrt{46} \approx 6,\!7823</math>
|-
| <math>\sqrt{ 7} \approx 2,\!6458</math> || <math>\sqrt{17} \approx 4,\!1231</math> || <math>\sqrt{27} \approx 5,\!1962</math> || <math>\sqrt{37} \approx 6,\!0828</math> || <math>\sqrt{47} \approx 6,\!8557</math>
|-
| <math>\sqrt{ 8} \approx 2,\!8284</math> || <math>\sqrt{18} \approx 4,\!2426</math> || <math>\sqrt{28} \approx 5,\!2915</math> || <math>\sqrt{38} \approx 6,\!1644</math> || <math>\sqrt{48} \approx 6,\!9282</math>
|-
| <math>\sqrt{ 9} = 3 </math> || <math>\sqrt{19} \approx 4,\!3589</math> || <math>\sqrt{29} \approx 5,\!3852</math> || <math>\sqrt{39} \approx 6,\!2450</math> || <math>\sqrt{49} = 7</math>
|-
| <math>\sqrt{10} \approx 3,\!1623</math> || <math>\sqrt{20} \approx 4,\!4721</math> || <math>\sqrt{30} \approx 5,\!4772</math> || <math>\sqrt{40} \approx 6,\!3246</math> || <math>\sqrt{50} \approx 7,\!0710</math>
|}
[[Categorie:Rekenen]]
| |||