Inversie (meetkunde): verschil tussen versies

516 bytes toegevoegd ,  3 jaar geleden
geen bewerkingssamenvatting
k (Updated images to svg format)
Geen bewerkingssamenvatting
[[BestandAfbeelding:Inversion illustration3Inversiemeetkunde01.svgpng|thumb|right|Twee cirkels (groenP en blauw)Q alszijn elkaars inverse in de rode cirkelcirkelinversen.]]
[[BestandAfbeelding:Inversion illustration2illustration3.svg|thumb|right|EenTwee lijncirkels (groen) en cirkel (blauw) doorals hetelkaars middelpuntinverse vanin de inversiecirkelrode als beeld van elkaarcirkel.]]
[[Afbeelding:Inversion illustration2.svg|thumb|Een lijn (groen) en cirkel (blauw) door het middelpunt van de inversiecirkel als beeld van elkaar.]]
[[Bestand:Inversie.PNG|thumb|right|Constructie van inversie.]]
[[BestandAfbeelding:PlaneinversionInversie.svgPNG|thumb|right|Andere constructieConstructie van inverseinversie.]]
[[Afbeelding:Planeinversion.svg|thumb|Andere constructie van inverse.]]
:''Voor een andere betekenis zie [[Puntspiegeling]].''
'''Inversie''' of '''cirkelspiegeling''' is een [[afbeelding (wiskunde)|afbeelding]] uit de [[meetkunde]]. Het is een soort spiegeling in een [[cirkel]] in het platte vlak. Het beeld van een punt onder inversie heet zijn '''inverse'''.
 
'''Inversie''' heeft in de [[meetkunde]] twee verschillende betekenissen. Het gaat in beide gevallen om een soort [[Afbeelding (wiskunde)|afbeelding]].
== Definitie ==
 
We nemen een cirkel C met [[middelpunt (meetkunde)|middelpunt]] M en [[straal (wiskunde)|straal]] r.
Er wordt in dit artikel vooral op de '''inversie''' ingegaan, die synoniem met '''cirkelspiegeling''' is. Met deze betekenis is het een soort spiegeling in een [[cirkel]] in het platte vlak.
Gegeven een punt P, dan is de inverse van P in C het punt Q op de [[lijn (meetkunde)|halfrechte]] MP zodat
 
:<math>MP \cdot MQ = r^2.</math>
Een '''puntspiegeling''' wordt ook een '''inversie''' genoemd. Een [[Spiegeling (meetkunde)#Puntspiegeling|puntspiegeling]] beeldt een [[Vector (wiskunde)|vector]] in tegengestelde richting af.
 
== Definities voor de cirkelspiegeling ==
We nemen een cirkel C met [[middelpuntMiddelpunt (meetkunde)|middelpunt]] M en [[straalStraal (wiskunde)|straal]] r.
Gegeven een punt P, dan is de inverse van P in C het punt Q op de [[lijn (meetkunde)|halfrechtehalve lijn]] MP zodat
: <math>MP \cdot MQ = r^2.</math>
 
* r<sup>2</sup> heet de macht van inversie,
* M is het centrum van inversie.
 
Het beeld van een punt onder inversie heet zijn inverse.
 
Een [[middencirkel]] van twee cirkels C<sub>1</sub> en C<sub>2</sub> is een cirkel C die door inversie C<sub>1</sub> en C<sub>2</sub> op elkaar afbeeldt.
 
== Eigenschappen ==
* De inverse van de inverse van een punt is het punt zelf.
* Inversie beeldt in het algemeen cirkels af op cirkels of lijnen. Deze lijnen zijn op te vatten als [[ontaard (meetkunde)|ontaarde]] cirkels, met oneindige straal. In het bijzonder is het beeld van een cirkel door M een lijn, en het beeld van een cirkel niet door M is een cirkel niet door M.
* DeHet [[middelpunt (meetkunde)|middelpunt]]en van een cirkel, enhet middelpunt van zijn inverse zijnen M [[collineairCollineair|liggen op één lijn]] met M, meer specifiek is M een [[vermenigvuldigingVermenigvuldiging (meetkunde)|gelijkvormigheidscentrum]] van de twee cirkels.
* Gegeven de inversie met centrum M en macht p, is het beeld van een cirkel met middelpunt A en straal r, met afstand d tussen M en A, een cirkel met straal <math>\left| \frac{pr}{d^2-r^2}\right|</math> en middelpunt <math>A + \frac{p}{d^2-r^2}(A-M).</math>
* Cirkels die C loodrecht snijden zijn invariant onder inversie.
* Inversie behoudt [[hoekHoek (meetkunde)|hoeken]].
* Als A en B de snijpunten zijn van MP met C, dan liggen (A,B) en (P,Q) [[harmonischeHarmonische ligging|harmonisch]].
 
== Constructie ==
* Constructie van de inverse Q van een punt P in het inwendige van C:
*# Construeer de lijn d door P [[loodrechtLoodrecht (meetkunde)|loodrecht]] op MP
*# Snijdt d met C, noem de snijpunten R en R',
*# Construeer de cirkel door M, R en R',
*# Trek een lijn P en W. Noem het andere snijpunt met de inversiecirkel X
*# Het snijpunt van de lijnen door VW resp. UX is de inverse van punt P
 
== Zie ook ==
* [[Middencirkel (meetkunde)]]
 
[[Categorie:Meetkunde]]