Wikipedia

Hamiltonformalisme: verschil tussen versies

Interactief door geschiedenis bladeren
← Oudere bewerkingNieuwere bewerking →
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
VisueelWikitekst
Madyno (overleg | bijdragen)
34.753 bewerkingen
Geen bewerkingssamenvatting
Madyno (overleg | bijdragen)
34.753 bewerkingen
Geen bewerkingssamenvatting
Regel 1:
Het '''hamiltonformalisme''' is een herformulering van de [[klassieke mechanica]], die in [[1833]] door de [[Ierland (land)|Ierse]] wiskundige [[William Rowan Hamilton]] is opgesteld.
 
Het hamiltonformalisme is ontstaan ​​uit de [[lagrangiaanse mechanica]], een eerdere herformulering van de [[klassieke mechanica]], die in 1788 werd geïntroduceerd door [[Joseph-Louis Lagrange]]. Doordat het hamiltonformalisme gebruikmaakt van [[symplectische variëteit|symplectische ruimteruimten]] kan het hamiltonformalisme worden geformuleerd ''zonder'' een beroep te hoeven doen op de lagrangiaanse mechanica. DeEen hamiltoniaansebelangrijk methodeverchil verschilttussen hierinhet vanhamiltonformalisme en de lagrangiaan
lagrangiaanse methode is dat invoor plaatseen vansysteem tweede-orde differentiaal restricties uit te drukken op eenmet <math>n</math>-dimensionale [[coördinatenruimte]]vrijheidsgraad|vrijheidsgraden (waarde lagrangiaanse methode tweede-orde differentiaalrestricties formuleert op een <math>n</math> het aantal-dimensionale [[vrijheidsgraad|vrijheidsgradencoördinatenruimte]], van het systeem is),en het hamiltonformalisme eerste-orde restricties op een <math>2n</math>-dimensionale [[faseruimte]] uitdrukt<ref>{{en}} {{aut|LaValle, Steven M.}}, , Hamiltonian mechanics [http://planning.cs.uiuc.edu/node707.html hfdst §13.4.4], Planning Algorithms, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-86205-9, 2006.</ref>
 
Naast het theoretische belang voor de [[klassieke mechanica]] is het hamiltonformalisme van groot belang geweest bij de ontwikkeling van de [[kwantummechanica]]. Verder bestaat er ook zoiets als Hamiltoniaansehamiltoniaanse optica, waarin gebruikgemaakt wordt van een analogie van driedimensionale banen van [[puntmassa]]'s en de loop van [[lichtstraal|lichtstralen]] in de [[geometrische optica]].▼
Het hamiltonformalisme vertoont dus veel overeenkomsten met dat van [[Lagrangiaan|Lagrange]]. Het kenmerkende verschil tussen het hamiltonformalisme en het lagrangeformalisme is dat hamiltonformalisme in vergelijking met het lagrangeformalisme voor hetzelfde mechanische systeem uit een stelsel van twee keer zoveel [[differentiaalvergelijking]]en van de eerste orde bestaat. Het lagrangemechanisme wordt gekenmerkt door haar tweede orde [[euler-lagrange-vergelijking]]en.
 
De ten behoeve van dit formalisme gedefinieerde grootheid ''hamiltoniaan'' <math>H</math> is in veel gevallen gelijk aan de totale energie <math>T+V,</math>, terwijl de ''[[lagrangiaan]]'' gelijk is aan <math>T-V</math> (waarin <math>T</math> de [[kinetische energie]] en <math>V</math> de [[potentiële energie]] is). Het hamiltonformalisme heeft vooral zijn waarde bewezen in mechanismesystemen waarin <math>H</math> expliciet onafhankelijk van de tijd is.▼
▲Naast het theoretische belang voor de [[klassieke mechanica]] is het hamiltonformalisme van groot belang geweest bij de ontwikkeling van de [[kwantummechanica]]. Verder bestaat er ook zoiets als Hamiltoniaanse optica, waarin gebruikgemaakt wordt van een analogie van driedimensionale banen van [[puntmassa]]'s en de loop van [[lichtstraal|lichtstralen]] in de [[geometrische optica]].
 
▲De ten behoeve van dit formalisme gedefinieerde grootheid ''hamiltoniaan'' <math>H</math> is in veel gevallen gelijk aan de totale energie <math>T+V,</math> terwijl de ''[[lagrangiaan]]'' gelijk is aan <math>T-V</math> (waarin <math>T</math> de [[kinetische energie]] en <math>V</math> de [[potentiële energie]] is). Het hamiltonformalisme heeft vooral zijn waarde bewezen in mechanismesystemen waarin <math>H</math> expliciet onafhankelijk van de tijd is.
 
== Afleiding uit het lagrangeformalisme ==
Stel dat we een mechanisch systeem hebben dat beschreven wordt door het lagrangeformalisme. De toestand van een tijdafhankelijk systeem met <math>n</math> [[vrijheidsgraad|vrijheidsgraden]] wordt vastgelegd met een stel [[gegeneraliseerde coördinaten]] <math>q_1,q_2,\ldots,q_n</math>, die per definitie onderling onafhankelijk zijn, en de bijbehorende gegeneraliseerde snelheden <math>\dot q_1,\dot q_2,\ldots,\dot q_n</math>, die ook onderling en van de plaatscoördinaten onafhankelijke grootheden zijn. (Tijdsafgeleiden van deze en andere [[Natuurkundige grootheid|natuurkundige grootheden]] worden volgens een conventionele notatie met een punt boven het symbool ervan aangegeven in plaats van de differentiaaloperator <math>\mathrm{d}/\mathrm{d}t</math> als dat de overzichtelijkheid ten goede komt.)
 
Het gedrag van het systeem wordt beschreven door de [[euler-lagrange-vergelijking]]en:
:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_i}=0\quad(i=1,2,\ldots,n).</math> (i)
Hierin is <math>L(q_1,\ldots,q_n,\dot q_1,\ldots,\dot q_n,t)</math> de [[lagrangiaan]] van het systeem.<br>
 
Nu wordt de ''hamiltoniaan'' of ''hamiltonfunctie'' ingevoerd, die de [[legendre-transformatie]] naar <math>\dot q_1,\dot q_2,\ldots,\dot q_n</math> is van de lagrangiaan. Dit is de eerste stap van een standaardmethode om een tweede orde DV om te zetten in een stelsel van twee eerste orde DV's, wat ook de bedoeling is van het hamiltonformalisme:
:<math>H = \sum_{i=1}^n \dot q_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - L</math>
 
Nu wordt voor elke gegeneraliseerde coördinaat <math>q_i</math> de bijbehorende ''gegeneraliseerde impuls'' geïntroduceerd:
:<math>p_i=\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}</math>. (ii)
 
De euler-lagrange-vergelijkingen kunnen zodoende herschreven worden als:
:<math>\dot p_i = \frac{\partial L}{\partial q_i}\quad(i=1,2,\ldots,n).</math> (iii)
 
Gebruik makendGebruikmakend van de definitie van <math>p_i</math> (ii) wordt een eerste stap gezet naar de definitie van de hamiltoniaan die alleen afhankelijk is van <math>q_i</math> en <math>p_i</math>:▼
:<math>H(q_1,\ldots,q_n,p_1,\ldots,p_n,t) = \sum_{i=1}^n \dot q_i p_i - L(q_1,\ldots,q_n,\dot q_1,\ldots,\dot q_n,t),</math>,▼
 
▲Gebruik makend van de definitie van <math>p_i</math> (ii) wordt een eerste stap gezet naar de definitie van de hamiltoniaan die alleen afhankelijk is van <math>q_i</math> en <math>p_i</math>:
▲:<math>H(q_1,\ldots,q_n,p_1,\ldots,p_n,t) = \sum_{i=1}^n \dot q_i p_i - L(q_1,\ldots,q_n,\dot q_1,\ldots,\dot q_n,t),</math>
waaruit de afhankelijkheid van <math>\dot q_i</math> nog weggewerkt moet worden.<br>
Vervolgens wordt uitgegaan van de ''totale differentiaal'' van deze versie van de hamiltoniaan:
:<math>dH\mathrm{d}H = \sum_{i=1}^n( \mathrm{d}(\dot q_i p_i) - dL\mathrm{d}L</math>.
 
Daarin wordt de [[Productregel (afgeleide)|productregel]] toegepast op de term <math>\dot q_i p_i</math> en wordt de totale differentiaal voor <math>L(q_1,\ldots,q_n,\dot q_1,\ldots,\dot q_n,t)</math> uitgeschreven:
:<math>\mathrm{d}H = \sum_{i=1}^n\left(p_i\,\mathrm{d}\dot q_i + \dot q_i\,\mathrm{d}p_i - \frac{\partial L}{\partial q_i}\,\mathrm{d}q_i - \frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\,\mathrm{d}\dot q_i\right) - \frac{\partial L}{\partial t}\,\mathrm{d}t.</math>
 
Uit deze uitdrukking kunnen de differentiaal van en de afgeleide naar <math>\dot q_i</math> weggewerkt worden door gebruik te maken van de definitie van <math>p_i</math> (ii) en van de herschreven versie van de euler-lagrange vergelijkingen (iii):
:<math>\mathrm{d}H = \sum_{i=1}^n\left(\dot q_i\,\mathrm{d}p_i - \dot p_i\,\mathrm{d}q_i\right) - \frac{\partial L}{\partial t}\,\mathrm{d}t.</math> (iv)
<math>\mathrm{d}H</math> is nu uitgedrukt in differentialen van <math>q_i</math>, <math>p_i</math> en <math>t.</math> Omdat <math>\dot q_i</math> mag opgevat worden als een functie van <math>p_i,</math> is <math>H</math> hiermee nu geheel afhankelijk van <math>q_i</math>, <math>p_i</math> en <math>t.</math>
 
Omdat<math>\mathrm{d}H</math> deis gegeneraliseerdenu plaatsuitgedrukt enin impulsdifferentialen voorvan verschillende<math>q_i</math>, vrijheidsgraden<math>p_i</math> ien van<math>t</math>. elkaarOmdat onafhankelijk<math>\dot zijn,q_i</math> kunnenopgevat vanmag deworden ''algemene''als definitieeen functie van de<math>p_i</math>, totale differentiaal vanis <math>H</math> alshiermee functienu geheel afhankelijk van <math>pq_i,\ qp_i</math> en <math>t:</math>.
 
Omdat de gegeneraliseerde plaats en impuls voor verschillende vrijheidsgraden i van elkaar onafhankelijk zijn, kunnen van de ''algemene'' definitie van de totale differentiaal van <math>H</math> als functie van <math>p,\ q</math> en <math>t</math>:
:<math>\mathrm{d}H = \sum_{i=1}^n\left(\frac{\partial H}{\partial p_i}\,\mathrm{d}p_i + \frac{\partial H}{\partial q_i}\,\mathrm{d} q_i\right) + \frac{\partial H}{\partial t}\,\mathrm{d}t</math>
 
de coëfficiënten van de differentialen <math>dp</math>\mathrm{d}p,\ <math>dq\mathrm{d}q</math> en <math>dt\mathrm{d}t</math> voor elke vrijheidsgraad <math>i</math> afzonderlijk gelijkgesteld worden met die van de zojuist afgeleide uitdrukking (iv) voor <math>\mathrm{d}H.</math>. Uit die gelijkstellingen volgen dan de ''vergelijkingen van Hamilton'', ook wel de ''kanonieke bewegingsvergelijkingen genoemd'':
:<math>\dot q_i=\frac{\partial H}{\partial p_i},\qquad\dot p_i=-\frac{\partial H}{\partial q_i}\qquad(i=1,2,\ldots,n).</math>;
 
en de tijdsafgeleide van <math>H</math> zelf is gelijk aan
:<math>\frac{\partial H}{\partial t}=-\frac{\partial L}{\partial t}.</math>
 
In een conservatief systeem, waarin geen kinetische of potentiële energie verloren gaat aan wrijving, is
:<math>\frac{\partial H}{\partial t}=0</math>
 
In dat geval zijn <math>H</math> en <math>L</math> bewegingsconstanten van het systeem.
De ruimte die wordt beschreven met gegeneraliseerde plaatscoördinaten en impulscoördinaten wordt een [[faseruimte]] genoemd, die o.a. in de [[statistische mechanica]] een centrale rol speelt. De deelruimte met alleen impulscoördinaten, die alleen de bewegingstoestand van een systeem beschrijven, wordt impulsruimte genoemd.
 
==Generalisatie==
De [[symplectische meetkunde]] bestudeert [[symplectische variëteit]]en, dit zijn al dan niet gekromde ruimten waarin de bewegingsvergelijkingen in de meetkundige structuur vervat liggen. De coördinaten in de omgeving van een punt van een dergelijke ruimte vormen een combinatie van de plaatscoördinaten <math>q_i</math> en de impulscoördinaten <math>p_i.</math>.
 
== Literatuur ==
Overgenomen van "https://nl.wikipedia.org/wiki/Hamiltonformalisme"