Versie van 28 okt 2018 11:17 bewerken Patrick (overleg \| bijdragen) uitgebreid bevestigde gebruikers 86.232 bewerkingen Geen bewerkingssamenvatting ← Oudere bewerking		Versie van 27 dec 2018 02:35 bewerken ongedaan maken Texvc2LaTeXBot (overleg \| bijdragen) bots 206 bewerkingen k Bot: corrigeren verouderde syntax in formules - mw:Extension:Math/Roadmap Nieuwere bewerking →
Regel 1: Een '''complexe functie''' is een [[complexwaardige functie]] van een [[Complex getal\|complexe]] variabele, dus een [[Functie (wiskunde)\|functie]] :<math>f: D \to \CComplex</math> waarvan het definitiegebied <math>D</math> een [[deelverzameling]] is van de complexe getallen <math>\CComplex</math>. Vaak wordt een complexe functie als volgt genoteerd: :<math>f(x+iy)=u(x,y)+i\cdot v(x,y)</math>, Regel 8: == Afgeleide == Als voor <math>c \in \CComplex</math> de limiet :<math>\lim_{z\to c}\frac{f(z)-f(c)}{z-c}</math>, Regel 43: ==== Kettingregel ==== Zij <math>g:D\to\CComplex</math> en <math>f:G\to\CComplex</math> beide holomorfe functies. Dan is de samenstelling <math>f\circ g:D\to\CComplex</math> ook holomorf en voor de afgeleide geldt: :<math>(f\circ g)'(z)=f'(g(z))g'(z)</math> Regel 59: :<math>e^{x+iy}=e^{x}(\cos{y}+i\cdot\sin{y})</math> Ook voor de complexe exponentiële functie gelden de bekende eigenschappen. Voor <math>z,w\in\CComplex</math> is: :<math>e^{z+w}=e^z e^w</math> en Regel 70: :<math>b\leq\arg{z}<b+2\pi</math> De logaritme is gedefinieerd is op <math>\CComplex\setminus\{0\}</math>. Kiest men de waarde <math>b=-\pi</math>, dan krijgt men de hoofdwaarde van de logaritme, die ook in de meeste gevallen wordt gebruikt. Voor de complexe logaritme gelden de gebruikelijke stellingen Regel 184: :<math>c_n=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\!\!\!\!C}\frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\,\mathrm{d}z=\frac{f^n(a)}{n!}</math> Hierbij is <math>C</math> een pad geparametriseerd door de functie <math>re^{it}:[0,2\pi]\to\CComplex</math> met <math>0<r<R</math>. Voorbeelden van taylorreeksen zijn: Regel 211: === Integreren === Zij <math>c:[a,b]\to\CComplex</math> een parametrizering van een gladde boog <math>C</math> en zij <math>f:D\to\CComplex</math> een complexe functie waarvoor <math>C\subset D</math>. De complexe integraal is gedefinierd door: :<math>\int_Cf(z)\,\mathrm{d}z=\int_{a}^{b}f(c(t))c'(t)\,\mathrm{d}t</math> Regel 241: ==== Definitie ==== Zij <math>f:D\to\CComplex</math> een continue complexe functie. Een holomorfe functie :<math>F:D\to\CComplex</math> wordt een ''primitieve'' van <math>f</math> genoemd, als voor elk complex getal <math>z\in D</math> geldt dat <math>F'(z)=f(z)</math>.

Complexe functie: verschil tussen versies