|
De '''harmonische rij''' is in de [[wiskunde]] de [[rij (wiskunde)|rij]]
Een oneindige [[rij (wiskunde)|getallenrij]] van positieve getallen heet in de [[wiskunde]] '''harmonisch''' als de termen de [[Omgekeerde|omgekeerden]] zijn van de termen van een [[rekenkundige rij]]<ref>[https://www.britannica.com/science/harmonic-sequence-mathematics Encyclopaedia Britannica, Harmonic sequence]</ref><ref>James and James, [https://books.google.nl/books?id=UyIfgBIwLMQC&lpg=PP1&dq=James%20and%20James%2C%20Mathematics%20dictionary%2C%201992&hl=nl&pg=PA196#v=onepage&q&f=false ''Mathematics dictionary''], 1992, p196, onder ''harmonic sequence'': "A sequence whose reciprocals form an arithmetic sequence."</ref>. ▼:<math>\ frac{1}{a+v}tfrac 11,\ \ fractfrac{1}{ a+2v2},\ \ fractfrac{1}{ a+3v3},\ \ fractfrac{1}{ a+4v4},\ \ ldots\ ,\ \fractfrac{1}{ a+nv5},\ \ldots</math> , ▼
dus de rij <math>(t_n)_{n=1}^\infty</math> met algemene term <math>t_n=\tfrac{1}{n} \ </math> .▼De meest bekende harmonische rij, ''DE harmonische rij'' ofwel [[Breuk (wiskunde)|''de stambreukenrij'']], is de rij
:<math>1,\ \frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{4},\ \frac{1}{5},\ \ldots\ \ = \ \left(\frac{1}{n}\right)_{n=1}^\infty\ </math>, ▼▲dus de rij <math>(t_n)_{n=1}^\infty</math> met algemene term <math>t_n=\tfrac{1}{n}\ </math>.
De benaming ''harmonische rij'' wordt ook gebruikt voor een ruimer begrip, zoals hieronder besproken.
De [[partiële som]]men van deze rij, de getallen
: <math>1,~~~\frac32 (=1{+}\tfrac12), ~~~\frac{11}{6} (=1{+}\tfrac12{+}\tfrac13),~~~\frac{25}{12} (=1{+}\tfrac12{+}\tfrac13{+}\tfrac14),~~~\frac{137}{60} (=1{+}\tfrac12{+}\tfrac13{+}\tfrac14{+}\tfrac15),~~\ldots~</math>, ▼
vormen deDe [[Harmonischpartiële getal|rijsom]]men dervan de harmonische getallen]].rij zijn
▲: <math>1,~~~ \frac32 (=1{+}\tfrac12 ~({=}\tfrac32), ~~~ \frac{11}{6} (=1{+}\tfrac12{+}\tfrac13 ),~ ~~\frac({ 25}{12} (= 1{+}\ tfrac12tfrac{ +11} \tfrac13{ +6} \tfrac14),~~~ \frac{137}{60} (=1{+}\tfrac12{+}\tfrac13{+}\tfrac14 ~({ +=}\ tfrac15tfrac{25}{12}),~~\ldots ~</math> ,
Ze heten [[Harmonisch getal|harmonische getallen]].
Bij voldoende hoog rangnummer blijken deze getallen elke grens, hoe groot ook, te overschrijden. De rij der harmonische getallen is daarom [[Convergentie (wiskunde)|''divergent'']], en de rij <math>~1,\ \tfrac12,\ \tfrac13,\ \tfrac14,\ \tfrac15,~~\ldots~</math> ''niet sommeerbaar''.
De naam 'harmonisch'van de rij is afkomstig van de verhoudingen van de snaarlengten van de [[Harmonische boventoonreeks|harmonische boventonen]] tot de [[grondtoon (muziekleer)|grondtoon]], die ontstaan door een [[Snaar (muziek)|snaar]] in delen onder te verdelen. Een andere verklaring verwijst naar het feit dat elke term (vanaf de tweede) het [[harmonisch gemiddelde]] is van beide buren.<ref>[https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Harmonic_series Encyclopedia of Mathematics]</ref>
== EigenschappenHarmonische reeks ==
*deDe bij de harmonische rij behorende [[ Reeksreeks (wiskunde) #Definitie|reeks]] <mathheet display="inline">\,\sum_{n=1}^\inftyde \frac1n\''harmonische </math>.reeks'':▼=== Formulevorm ===
:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac 1n~</math>.
Omdat een harmonische rij bestaat uit de omgekeerden van een rekenkundige rij, is elke harmonische rij te schrijven als
▲:<math>\frac{1}{a+v},\ \frac{1}{a+2v},\ \frac{1}{a+3v},\ \frac{1}{a+4v},\ \ldots\ ,\ \frac{1}{a+nv},\ \ldots</math>
Deze reeks is divergent, wat inhoudt dat de harmonische rij niet [[sommeerbaar]] is, geen (eindige) som heeft, aangezien de partieelsommen van deze rij doorgroeien naar oneindig.
Met <math>a\ge 0,\ v > 0~</math> zijn er geen nul-noemers; voor <math>a=0,\,v=1</math> is het DE harmonische rij. ▼
HetDat niet-sommeerbaarlaatste zijnvolgt uit de vergelijking van DEde harmonische rij (H) kan worden aangetoond door vergelijking met een andere rij (K) waarvan de meeste termen kleiner zijn dan (soms gelijk aan, maar nooit groter dan) die op dezelfde plaats in rij H. ▼=== Bepaald door eerste en tweede term ===
Een harmonische rij is, net als een rekenkundige en een meetkundige, geheel bepaald door de eerste twee termen: ▼:<math>t_n = \frac{1}{1/t_1 + (n-1)\,(1/t_2-1/t_1)}~</math>. ▼
=== Harmonisch gemiddelde ===
In elke harmonische rij is elke term (vanaf de tweede) het [[harmonisch gemiddelde]] is van zijn beide buren<ref>[https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Harmonic_series Encyclopedia of Mathematics]</ref>. <br>In formule: <math>~~t_{n} = \frac{2}{\frac{1}{t_{n-1}}+\frac{1}{t_{n+1}}}~~</math> ofwel <math>~~\frac{1}{t_n}=\tfrac12\left(\frac{1}{t_{n-1}}+\frac{1}{t_{n+1}}\right)~</math>.
=== Niet sommeerbaar ===
Elke harmonische rij is [[Monotone functie|monotoon]] dalend en [[Convergentie (wiskunde)|convergeert]] naar 0 (heeft 0 als limiet). Maar geen enkele harmonische rij is sommeerbaar, hetgeen analoog aan het navolgende te bewijzen is. ▼
▲Het niet-sommeerbaar zijn van DE harmonische rij (H) kan worden aangetoond door vergelijking met een andere rij (K) waarvan de meeste termen kleiner zijn dan (soms gelijk aan, maar nooit groter dan) die op dezelfde plaats in rij H.
Die vergelijkingsrij bevat (steeds langer wordende) rijtjes gelijke breuken, gelijk aan de eerstvolgende term van H waarvan de noemer (en het rangnummer) een macht van 2 is.
Elk groepje gelijknamige breuken in rij K heeft <math>\tfrac12</math>  als som. Dat maakt dat de rij partiële sommen van K naar oneindig gaat, want die stijgende rij bevat (onder meer) als termen: <math>1,\ 1\tfrac12,\ 2,\ 2\tfrac12,\ 3,\ \ldots\ </math> De grótere partiële sommen van H zullen dus zeker ook naar oneindig gaan, en dus is H niet sommeerbaar.
== UitbreidingenMeer algemeen ==
▲EenDe oneindigebenaming ''harmonische [[rij '' (wiskunde)|getallenrij]]is vanin positievemeer getallenalgemene zin heetook in degebruik voor [[ Rij (wiskunde )|rijen]] '''harmonisch''' alswaarvan de termen de [[Omgekeerde|omgekeerden]] zijn van de termen van een [[rekenkundige rij]] .<ref>[https://www.britannica.com/science/harmonic-sequence-mathematics Encyclopaedia Britannica, Harmonic sequence]</ref><ref>James and James, [https://books.google.nl/books?id=UyIfgBIwLMQC&lpg=PP1&dq=James%20and%20James%2C%20Mathematics%20dictionary%2C%201992&hl=nl&pg=PA196#v=onepage&q&f=false ''Mathematics dictionary''], 1992, p196, onder ''harmonic sequence'': "A sequence whose reciprocals form an arithmetic sequence."</ref> <ref>Van Dale, ''Groot woordenboek der Nederlandse taal'', 1995, p1107, onder ''harmonisch'': "(wisk. ) ''harmonische evenredigheid'', waarin a:c = (b‑a) : (c‑b); (wisk.) ''harmonische reeks'', rij van getallen waarvan elke drie opeenvolgende voortdurend harmonisch evenredig zijn"</ref> Elke harmonische rij is dus te noteren (met <math>a\ge 0,\ v > 0)</math> als
De woord 'harmonisch' komt ook voor in de aanduiding van rijen die niet voldoen aan de definitie in de eerste zin hierboven:
▲:<math> 1,\ \frac{1}{ 2a+v},\ \frac{1}{ 3a+2v},\ \frac{1}{ 4a+3v},\ \frac{1}{ 5a+4v},\ \ldots\ ,\ = \ \left(\frac{1}{ na+nv} ,\ right)_{n=1}^ \ infty\ ldots</math> ,
=== Alternerend harmonisch ===
▲Met <math>a\ge 0,\ v > 0~</math> zijn er geen nul-noemers; voorVoor <math>a=0,\,v=1</math> is hetdit DE harmonische rij.
De rij met als termen <math>1, -\tfrac{1}{2},\ \tfrac{1}{3}, -\tfrac{1}{4},\ \tfrac{1}{5},\ \ldots</math> wordt algemeen aangeduid als ''de alternerende harmonische rij''; deze rij is wél sommeerbaar, met <math>\ln(2)</math> als som. ▼
▲Een harmonische rij is, net als een rekenkundige en een meetkundige, geheel bepaald door de eerste twee termen . Omdat het verschil tussen de ''omgekeerden'' van twee opvolgende termen constant is, geldt voor een drietal <math>t_{n-1},\, t_n,\, t_{n+1}</math>:
=== Hyperharmonisch ===
:<math>\frac{1}{t_{n+1}}-\frac{1}{t_n}=\frac{1}{t_n}-\frac{1}{t_{n-1}}</math>,
Voor elke positieve exponent <math>p</math> ''ongelijk'' 1 heet de rij <math>~1, \tfrac1{2^p}, \tfrac1{3^p}, \tfrac1{4^p}, \tfrac1{5^p},\ \ldots~</math> ''hyperharmonisch''; voor <math>p>1</math> is de rij sommeerbaar.
waaruit blijkt dat voor <math>n>1</math> iedere term is vastgelegd door de twee voorgaande termen:
== Harmonische reeks ==
▲:<math> t_nt_{n+1} = \frac{1}{ 1/t_1 + (n\frac{2}{t_n}- 1)\ ,(frac{1 /t_2}{t_{n-1 /t_1)} ~}}</math> .
Met '' 'de harmonische reeks' '' kan bedoeld zijn:
* de rij der harmonische getallen<ref>M. Veraar, ''Wiskundige structuren'' (TU Delft) 2016: "De rij der partiële sommen <math>(s_n)_{n\ge 0}~</math> wordt de ''reeks'' van <math>(a_j)_{j\ge 0}</math> genoemd", [https://ocw.tudelft.nl/wp-content/uploads/Wiskundige_structuren_VI.1_Convergentie_van_Reeksen.pdf ]</ref>,
Door het herhaald toepassen van deze recursie-formule is te zien dat elke term bepaald is door <math>t_1</math> en <math>t_2</math>.
* DE harmonische rij zelf (want in veel situaties werd lange tijd, en wordt nog wel, 'reeks' als synoniem voor 'rij' gebruikt<ref>Van Dale, ''Groot woordenboek der Nederlandse taal'', 1995, p1107, onder ''harmonisch'': "(wisk.) ''harmonische reeks'', rij van getallen waarvan elke drie opeenvolgende voortdurend harmonisch evenredig zijn"</ref>),
▲*de bij de harmonische rij behorende [[Reeks (wiskunde)#Definitie|reeks]] <math display="inline">\,\sum_{n=1}^\infty \frac1n\ </math>.
Tevens is te zien dat elke term (vanaf de tweede) het [[harmonisch gemiddelde]] is van beide buren:
:<math>\frac{1}{t_n}=\tfrac12\left(\frac{1}{t_{n+1}}+\frac{1}{t_{n-1}}\right)</math>
▲Elke harmonische rij is [[Monotone functie|monotoon]] dalend en [[Convergentie (wiskunde)|convergeert]] naar 0 (heeft 0 als limiet) ., Maarmaar geen enkele harmonische rij is sommeerbaar , hetgeen(geen analoogenkele aanheeft heteen navolgendeconvergerende terij bewijzenvan is[[partiële som]]men).
▲DeHoewel de rij met als termen <math>1, -\tfrac{1}{2},\ \tfrac{1}{3}, -\tfrac{1}{4},\ \tfrac{1}{5},\ \ldots</math> wordtwel algemeenwordt aangeduid als ''de alternerende harmonische rij'' ;, voldoet dezedie rij isniet wélaan sommeerbaar,bovenstaande metdefinitie <math>\ln(2)</math>van als'harmonische somrij'.
== Zie ook ==
|
