Harmonische rij: verschil tussen versies

:<math>\tfrac 11,\ \tfrac{1}{2},\ \tfrac{1}{3},\ \tfrac{1}{4},\ \tfrac{1}{5},\ \cdotsldots</math>,

De benaming ''harmonische rij'' is in meer algemene zin ook in gebruik voor [[Rij (wiskunde)|rijen]] waarvan de termen de [[Omgekeerde|omgekeerden]] zijn van de termen van een [[rekenkundige rij]].<ref>[https://www.britannica.com/science/harmonic-sequence-mathematics Encyclopaedia Britannica, Harmonic sequence]</ref><ref>James and James, [https://books.google.nl/books?id=UyIfgBIwLMQC&lpg=PP1&dq=James%20and%20James%2C%20Mathematics%20dictionary%2C%201992&hl=nl&pg=PA196#v=onepage&q&f=false ''Mathematics dictionary''], 1992, p196, onder ''harmonic sequence'': "A sequence whose reciprocals form an arithmetic sequence."</ref><ref>Van Dale, ''Groot woordenboek der Nederlandse taal'', 1995, p1107, onder ''harmonisch'': "(wisk.) ''harmonische evenredigheid'', waarin a:c = (b‑a) : (c‑b); (wisk.) ''harmonische reeks'', rij van getallen waarvan elke drie opeenvolgende voortdurend harmonisch evenredig zijn"</ref> Elke harmonische rij is dus te noteren (met <math>ca\ge 0,\ v > 0)</math> als

:<math>\frac{1}{ca+v},\ \frac{1}{ca+2v},\ \frac{1}{ca+3v},\ \frac{1}{ca+4v},\ \ldots\ ,\ \frac{1}{ca+nv},\ \ldots</math>

Voor <math>ca=0,~\,v=1~</math> is dit ''DE'' harmonische rij.

Een harmonische rij is, net als een rekenkundige en een meetkundige, helemaalgeheel bepaald door de eerste twee termen. Omdat het verschil tussen de ''omgekeerden'' van twee opvolgende termen constant is, volgt voor een drietal <math>t_{n-1},\, t_n,\, t_{n+1}</math>:

waaruit volgtblijkt dat iedere term als volgt is vastgelegd door de twee voorgaande termen:

:<math>t_{n}t_n = \frac{1}{\frac{2}{t_{n-1}}-\frac{1}{t_{n-2}}}</math>

Hoewel de rij met als termen <math>1, -\tfrac{1}{2},\ \tfrac{1}{3}, -\tfrac{1}{4},\ \tfrac{1}{5},\ \ldots</math> wel wordt aangeduid als ''de alternerende harmonische rij'', voldoet die rij niet aan bovenstaande definitie van 'harmonische rij'.