Wikipedia

Harmonische rij: verschil tussen versies

Interactief door geschiedenis bladeren
← Oudere bewerkingNieuwere bewerking →
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
VisueelWikitekst
Verbetering van leesbaarheid op drie plaatsen. Gedetailleerde motivatie, met bronnen, op overlegpagina.
Trewal (overleg | bijdragen)
9.860 bewerkingen
Versie 52652387 van Hesselp (overleg) ongedaan gemaakt. Niet voldaan aan maatregel 1. Ook tegen maatregel 3. Zie OP.
Label: Ongedaan maken
Regel 1:
In de [[wiskunde]] wordt met '''harmonische rij''' in engere zin de volgende [[Rij (wiskunde)|rij]] aangeduid:
:<math>1,\ \frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \ldots\ ,\ \frac{1}{n},\ \ldots\ </math>, &nbsp;

dus de rij <math>\ \left(\frac{1}{n}\righta_n)_{n=1}^\infty\</math> met algemene term <math>a_n=1/n</math>.
 
De benaming ''harmonische rij'' wordt ook gebruikt voor een ruimer begrip, zoals hieronder besproken.
Regel 27 ⟶ 29:
 
== Meer algemeen ==
De benaming ''harmonische rij'' is in meer algemene zin ook in gebruik voor [[Rij (wiskunde)|rijen]] waarvan de termen de [[Omgekeerde|omgekeerden]] zijn van de termen van een [[rekenkundige rij]].<ref>[https://www.britannica.com/science/harmonic-sequence-mathematics Encyclopaedia Britannica, Harmonic sequence]</ref><ref>James and James, [https://books.google.nl/books?id=UyIfgBIwLMQC&lpg=PP1&dq=James%20and%20James%2C%20Mathematics%20dictionary%2C%201992&hl=nl&pg=PA196#v=onepage&q&f=false ''Mathematics dictionary''], 1992, p196, onder ''harmonic sequence'': "A sequence whose reciprocals form an arithmetic sequence."</ref><ref>Van Dale, ''Groot woordenboek der Nederlandse taal'', 1995, p1107, onder ''harmonisch'': "(wisk.) ''harmonische evenredigheid'', waarin a:c = (b‑a) : (c‑b); (wisk.) ''harmonische reeks'', rij van getallen waarvan elke drie opeenvolgende voortdurend harmonisch evenredig zijn"</ref> Elke harmonische rij is dus te noteren (met <math>ac\ge 0,\ v > 0)</math> als
:<math>\frac{1}{ac+v},\ \frac{1}{ac+2v},\ \frac{1}{ac+3v},\ \frac{1}{ac+4v},\ \ldots\ ,\ \frac{1}{ac+nv},\ \ldots</math>
Voor <math>ac=0,~v=1~</math> is dit ''DE'' harmonische rij.
 
Een harmonische rij is, net als een rekenkundige en een meetkundige, helemaal bepaald door de eerste twee termen. Want uit het constant zijn van het verschil tussen de ''omgekeerden'' van twee opvolgende termen, volgt voor een drietal <math>\, t_{n-2},\, t_{n-1},\, t_{n}</math>:▼
 
Want aangezien het verschil tussen de ''omgekeerden'' van twee opvolgende termen constant is, volgt voor een drietal <math>t_{n-1},\, t_n,\, t_{n+1}</math>:
:<math>\frac{1}{t_{n+1}}-\frac{1}{t_n}=\frac{1}{t_n}-\frac{1}{t_{n-1}}</math>,
 
waaruit volgt dat iedere term als volgt is vastgelegd door de twee voorgaande termen:
▲Een harmonische rij is, net als een rekenkundige en een meetkundige, helemaal bepaald door de eerste twee termen. Want uit het constant zijn van het verschil tussen de ''omgekeerden'' van twee opvolgende termen, volgt voor een drietal <math>\, t_{n-2},\, t_{n-1},\, t_{n}</math>:
:<math>\frac1{t_{n}}-\frac1{t_{n-1}} = \frac1{t_{n-1}}-\frac1{t_{n-2}}~~</math>en daaruit <math>~~t_{n} = \frac{1}{\frac{2}{t_{n-1}}-\frac{1}{t_{n-2}}}~</math>.
 
DeDoor laatste formule zegt dat iedere term is vastgelegd door de twee voorafgaande. Hethet herhaald toepassen van deze [[recursie]]-formule laatis te zien dat elke term <math>t_n</math> bepaald is door <math>t_1</math> en <math>t_2</math>.
 
VoorTevens elke harmonischeis rijte geldtzien dat elke term (vanaf de tweede) het [[harmonisch gemiddelde]] is van beide buren, in formule:
:<math>t_{n} = \frac{21}{t_n}=\tfrac12\left(\frac{1}{t_{n-+1}}+\frac{1}{t_{n+-1}}}~\right)</math>.
 
Elke harmonische rij is [[Monotone functie|monotoon]] dalend en [[Convergentie (wiskunde)|convergeert]] naar 0 (heeft 0 als limiet), maar geen enkele harmonische rij is sommeerbaar (geen enkele heeft een convergerende rij van [[partiële som]]men).
Overgenomen van "https://nl.wikipedia.org/wiki/Harmonische_rij"