Harmonische rij: verschil tussen versies

Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Dat er 'geen consensus' zou zijn over elk van de drie besproken zinnen, blijkt niet uit het overleg op de punten a-g (5 nov 2018 14:09). Graag reacties op elk van die punten.
Label: Ongedaan maken
Versie 52591139 van Hesselp (overleg) ongedaan gemaakt. jij wilde overleg, dat staat er nu
Label: Ongedaan maken
Regel 1:
In de [[wiskunde]] wordt met '''harmonische rij''' in engere zin de volgende [[Rij (wiskunde)|rij]] aangeduid:
:<math>1,\ \frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \ldots\ ,\ \frac{1}{n},\ \ldots\ \ </math>,
 
dus de rij <math>(a_n)_{n=1}^\infty</math> met algemene term <math>a_n=1/n</math>.
 
De benaming ''harmonische rij'' wordt ook gebruikt voor een ruimer begrip, zoals hieronder besproken.
Regel 29:
 
== Meer algemeen ==
De benaming ''harmonische rij'' is in meer algemene zin ook in gebruik voor [[Rij (wiskunde)|rijen]] waarvan de termen de [[Omgekeerde|omgekeerden]] zijn van de termen van een [[rekenkundige rij]].<ref>[https://www.britannica.com/science/harmonic-sequence-mathematics Encyclopaedia Britannica, Harmonic sequence]</ref><ref>James and James, [https://books.google.nl/books?id=UyIfgBIwLMQC&lpg=PP1&dq=James%20and%20James%2C%20Mathematics%20dictionary%2C%201992&hl=nl&pg=PA196#v=onepage&q&f=false ''Mathematics dictionary''], 1992, p196, onder ''harmonic sequence'': "A sequence whose reciprocals form an arithmetic sequence."</ref><ref>Van Dale, ''Groot woordenboek der Nederlandse taal'', 1995, p1107, onder ''harmonisch'': "(wisk.) ''harmonische evenredigheid'', waarin a:c = (b‑a) : (c‑b); (wisk.) ''harmonische reeks'', rij van getallen waarvan elke drie opeenvolgende voortdurend harmonisch evenredig zijn"</ref> Elke harmonische rij is dus te noteren (met <math>ac\ge 0,\ v > 0)</math> als
:<math>\frac{1}{ac+v},\ \frac{1}{ac+2v},\ \frac{1}{ac+3v},\ \frac{1}{ac+4v},\ \ldots\ ,\ \frac{1}{a+nv},\ \ldots\ </math>
Voor <math>ac=0,~v=1~</math> is dit ''DE'' harmonische rij.
 
Een harmonische rij is, net als een rekenkundige en een meetkundige, helemaal bepaald door de eerste twee termen. Want uit het constant blijven vanAangezien het verschil tussen de ''omgekeerden'' van twee opvolgende termen constant is, volgt voor een drietal <math>t_{n-1},\, t_n,\, t_{n+1},\, t_{n+2}\ </math>:
=== Eigenschappen ===
:<math>\frac{1}{t_{n+1}}-\frac{1}{t_n}=\frac{1}{t_n}-\frac{1}{t_{n-1}}</math>,
Een harmonische rij is, net als een rekenkundige en een meetkundige, helemaal bepaald door de eerste twee termen. Want uit het constant blijven van het verschil tussen de ''omgekeerden'' van opvolgende termen, volgt voor een drietal <math>\, t_n,\, t_{n+1},\, t_{n+2}\ </math>:
:<math>\frac1{t_{n+2}}-\frac1{t_{n+1}} = \frac1{t_{n+1}}-\frac1{t_{n}}~~</math>en daaruit <math>~~t_{n+2} = \frac{1}{\frac{2}{t_{n+1}}-\frac{1}{t_{n}}}~</math>.
 
waaruit volgt dat iedere term als volgt is vastgelegd door de twee voorgaande termen:
Voor elke harmonische rij geldt dat elke term (vanaf de tweede) het [[harmonisch gemiddelde]] is van beide buren, in formule:
:<math>t_{n+1} = \frac{21}{\frac{12}{t_{nt_n}-1}}+\frac{1}{t_{n+-1}}}~</math>.
 
VoorTevens elke harmonischeis rijte geldtzien dat elke term (vanaf de tweede) het [[harmonisch gemiddelde]] is van beide buren, in formule:
:<math>\frac{1}{t_n}=\tfrac12\left(\frac{1}{t_{n+1}}+\frac{1}{t_{n-1}}\right)</math>
 
Elke harmonische rij is [[Monotone functie|monotoon]] dalend en [[Convergentie (wiskunde)|convergeert]] naar 0 (heeft 0 als limiet), maar geen enkele harmonische rij is sommeerbaar (geen enkele heeft een convergerende rij van [[partiële som]]men).