Wikipedia

Harmonische rij: verschil tussen versies

Interactief door geschiedenis bladeren
← Oudere bewerkingNieuwere bewerking →
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
VisueelWikitekst
Madyno (overleg | bijdragen)
34.753 bewerkingen
Versie 52586924 van Hesselp (overleg) ongedaan gemaakt. Onzinnige erandereingen
Label: Ongedaan maken
Het terugdraai-argument 'Onzinnige veranderingen' van Madyno staat ver af van de gevraagde inhoudelijke argumentatie voor elk van de drie betrokken zinnen apart. De punten a-g in mijn OP-bijdrage van 5 nov 2018 14:09 gelden ook voor de nu vervangen tekst.
Label: Ongedaan maken
Regel 1:
In de [[wiskunde]] wordt met '''harmonische rij''' in engere zin de volgende [[Rij (wiskunde)|rij]] aangeduid:
:<math>1,\ \frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \ldots\ ,\ \frac{1}{n},\ \ldots\ \ </math>,
 
dus de rij <math>(a_n\text{H}_n)_{n=1}^\infty</math> met algemene term <math>a_n\text{H}_n=1/n</math>.
 
De benaming ''harmonische rij'' wordt ook gebruikt voor een ruimer begrip, zoals hieronder besproken.
Regel 29:
 
== Meer algemeen ==
De benaming ''harmonische rij'' is in meer algemene zin ook in gebruik voor [[Rij (wiskunde)|rijen]] waarvan de termen de [[Omgekeerde|omgekeerden]] zijn van de termen van een [[rekenkundige rij]].<ref>[https://www.britannica.com/science/harmonic-sequence-mathematics Encyclopaedia Britannica, Harmonic sequence]</ref><ref>James and James, [https://books.google.nl/books?id=UyIfgBIwLMQC&lpg=PP1&dq=James%20and%20James%2C%20Mathematics%20dictionary%2C%201992&hl=nl&pg=PA196#v=onepage&q&f=false ''Mathematics dictionary''], 1992, p196, onder ''harmonic sequence'': "A sequence whose reciprocals form an arithmetic sequence."</ref><ref>Van Dale, ''Groot woordenboek der Nederlandse taal'', 1995, p1107, onder ''harmonisch'': "(wisk.) ''harmonische evenredigheid'', waarin a:c = (b‑a) : (c‑b); (wisk.) ''harmonische reeks'', rij van getallen waarvan elke drie opeenvolgende voortdurend harmonisch evenredig zijn"</ref> Elke harmonische rij is dus te noteren (met <math>ca\ge 0,\ v > 0)</math> als
:<math>\frac{1}{ca+v},\ \frac{1}{ca+2v},\ \frac{1}{ca+3v},\ \frac{1}{ca+4v},\ \ldots\ ,\ \frac{1}{a+nv},\ \ldots\ </math>
Voor <math>ca=0,~v=1~</math> is dit ''DE'' harmonische rij.
 
=== Eigenschappen ===
Een harmonische rij is, net als een rekenkundige en een meetkundige, helemaal bepaald door de eerste twee termen. AangezienWant uit het constant blijven van het verschil tussen de ''omgekeerden'' van twee opvolgende termen constant is, volgt voor een drietal <math>t_{n-1},\, t_n,\, t_{n+1},\, t_{n+2}\ </math>:
:<math>\frac{1}{t_{n+1}}-\frac{1}{t_n}=\frac{1}{t_n}-\frac{1}{t_{n-1}}</math>,
:<math>\frac1{t_{n+2}}-\frac1{t_{n+1}} = \frac1{t_{n+1}}-\frac1{t_{n}}~~</math>en daaruit <math>~~t_{n+2} = \frac{1}{\frac{2}{t_{n+1}}-\frac{1}{t_{n}}}~</math>.
 
TevensVoor iselke harmonische terij ziengeldt dat elke term (vanaf de tweede) het [[harmonisch gemiddelde]] is van beide buren, in formule:▼
waaruit volgt dat iedere term als volgt is vastgelegd door de twee voorgaande termen:
:<math>t_{n+1} = \frac{12}{\frac{21}{t_n}t_{n-1}}+\frac{1}{t_{n-+1}}}~</math>.
 
▲Tevens is te zien dat elke term (vanaf de tweede) het [[harmonisch gemiddelde]] is van beide buren:
:<math>\frac{1}{t_n}=\tfrac12\left(\frac{1}{t_{n+1}}+\frac{1}{t_{n-1}}\right)</math>
 
Elke harmonische rij is [[Monotone functie|monotoon]] dalend en [[Convergentie (wiskunde)|convergeert]] naar 0 (heeft 0 als limiet), maar geen enkele harmonische rij is sommeerbaar (geen enkele heeft een convergerende rij van [[partiële som]]men).
Overgenomen van "https://nl.wikipedia.org/wiki/Harmonische_rij"