Harmonische rij: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Label: Ongedaan maken |
Het terugdraai-argument 'Onzinnige veranderingen' van Madyno staat ver af van de gevraagde inhoudelijke argumentatie voor elk van de drie betrokken zinnen apart. De punten a-g in mijn OP-bijdrage van 5 nov 2018 14:09 gelden ook voor de nu vervangen tekst. Label: Ongedaan maken |
||
Regel 1:
In de [[wiskunde]] wordt met '''harmonische rij''' in engere zin de volgende [[Rij (wiskunde)|rij]] aangeduid:
:<math>1,\ \frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \ldots\ ,\ \frac{1}{n},\ \ldots\ \ </math>,
dus de rij <math>(
De benaming ''harmonische rij'' wordt ook gebruikt voor een ruimer begrip, zoals hieronder besproken.
Regel 29:
== Meer algemeen ==
De benaming ''harmonische rij'' is in meer algemene zin ook in gebruik voor [[Rij (wiskunde)|rijen]] waarvan de termen de [[Omgekeerde|omgekeerden]] zijn van de termen van een [[rekenkundige rij]].<ref>[https://www.britannica.com/science/harmonic-sequence-mathematics Encyclopaedia Britannica, Harmonic sequence]</ref><ref>James and James, [https://books.google.nl/books?id=UyIfgBIwLMQC&lpg=PP1&dq=James%20and%20James%2C%20Mathematics%20dictionary%2C%201992&hl=nl&pg=PA196#v=onepage&q&f=false ''Mathematics dictionary''], 1992, p196, onder ''harmonic sequence'': "A sequence whose reciprocals form an arithmetic sequence."</ref><ref>Van Dale, ''Groot woordenboek der Nederlandse taal'', 1995, p1107, onder ''harmonisch'': "(wisk.) ''harmonische evenredigheid'', waarin a:c = (b‑a) : (c‑b); (wisk.) ''harmonische reeks'', rij van getallen waarvan elke drie opeenvolgende voortdurend harmonisch evenredig zijn"</ref> Elke harmonische rij is dus te noteren (met <math>
:<math>\frac{1}{
Voor <math>
=== Eigenschappen ===
Een harmonische rij is, net als een rekenkundige en een meetkundige, helemaal bepaald door de eerste twee termen.
:<math>\frac1{t_{n+2}}-\frac1{t_{n+1}} = \frac1{t_{n+1}}-\frac1{t_{n}}~~</math>en daaruit <math>~~t_{n+2} = \frac{1}{\frac{2}{t_{n+1}}-\frac{1}{t_{n}}}~</math>.
:<math>t_{n
▲Tevens is te zien dat elke term (vanaf de tweede) het [[harmonisch gemiddelde]] is van beide buren:
Elke harmonische rij is [[Monotone functie|monotoon]] dalend en [[Convergentie (wiskunde)|convergeert]] naar 0 (heeft 0 als limiet), maar geen enkele harmonische rij is sommeerbaar (geen enkele heeft een convergerende rij van [[partiële som]]men).
|