Machtreeks: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Geen bewerkingssamenvatting |
|||
Regel 2:
:<math>\sum_{n=0}^\infty a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \ldots</math>
Daarin heet het (complexe) getal <math>a_n</math> de [[coëfficiënt]] van de <math>n</math>-de macht van de variabele. Een machtreeks is een [[complexwaardige functie]] in de variabele <math>x</math>. Een voorbeeld van een machtreeks is de [[maclaurin-reeks]].
▲:<math>\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n = a_0 + a_1 (x-c) + a_2 (x-c)^2 + \ldots </math>
De complexe waarden van <math>x-c</math> waar de machtreeks absoluut [[Convergentie (wiskunde)|convergeert]], vormen:
# de gehele [[verzameling (wiskunde)|verzameling]] van de complexe getallen, <math>\C
# het [[singleton (wiskunde)|singleton]] {0}, of
# een open cirkelschijf
De [[convergentiestraal]] van de machtreeks is de straal van de open cirkelschijf (oneindig in geval 1, nul in geval 2).
== Taylorreeksen ==
Elke [[holomorfe functie]] <math>g(z)</math> kan voor elk punt <math>c</math> in het domein geschreven worden in de vorm van een machtreeks rond <math>c</math>. Deze machtreeks is de [[taylorreeks]] van <math>g</math>:
:<math>g(z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(z-c)^n}{n!} g^{(n)}(c)</math>
Hierbij is <math>g^{(n)}</math> de <math>n</math>-de [[afgeleide]] van de functie <math>g.</math>
De convergentiestraal van een taylorreeks is de [[afstand]] van <math>c</math> tot de dichtstbijzijnde [[singulariteit (wiskunde)|singulariteit]] van de functie <math>g</math>.
== Voorbeelden ==
=== Meetkundige reeks ===
Als alle coëfficiënten in een machtreeks gelijk zijn aan 1, krijgt men een ''[[meetkundige reeks]]''
:<math>1+z+z^2+z^3+\ldots</math>
Regel 36 ⟶ 32:
Deze functie is meer algemeen, voor <math>c \ne 1</math>, te schrijven als machtreeks om <math>z=c</math>:
:<math>\frac{1}{1-z}=\frac{1}{1-c}+\frac{z-c}{(1-c)^2}+\frac{(z-c)^2}{(1-c)^3}+\ldots</math>
Deze is convergent voor <math>|z-c|<|1-c|</math>. De [[convergentiecirkel]] gaat dus steeds door de [[singulariteit (wiskunde)|singulariteit]] <math>z=1</math>.
| |||