Stelling van Green: verschil tussen versies

Als <math>P</math> en <math>Q</math> continue [[functie (wiskunde)|functies]] zijn in een normaal gebied ''<math>D''</math> dat volledig behoort tot een open gebied in twee dimensies met continue [[partiële afgeleide]]n <math>\frac{\partial P(x,y)}{\partial y}</math> en <math>\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}</math>, en ''<math>D''</math> wordt begrensd door een stuksgewijs gladde, enkelvoudige gesloten curve ''<math>C''</math> (doorlopen in [[tegenwijzerzin]])<ref>Dit hangt samen met de conventie dat de positieve Y-as 90 graden gedraaid is tegen de klok in t.o.v. de positieve X-as.</ref>), dan geldt:

:<math>\iint_D \left(\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x} - \frac{\partial P(x,y)}{\partial y}\right){\rm d}x{\rm d}y = \oint_C oint_{\left!\!\!C} ({P(x,y)}{\rm d}x + Q(x,y){\rm d}y\right)</math>

Hier volgt een bewijs voor het geval dat ''<math>D''</math> een gebied is zoals in nevenstaande figuur is aangegeven, dus onder en boven begrensd door continue curven C<submath>1C_1</submath> en C<submath>3C_3</submath>, en links en rechts door rechte lijnen C<submath>2C_2</submath> en C<submath>4C_4</submath>.

waarin ''g''<submath>1g_1</submath> anden ''g''<submath>2g_2</submath> continue functies zijn. We berekenen:

|<math> = \int_a^b \Big\{P(x,g_2(x)) - P(x,g_1(x)) \Big\} \, \mathrm{d}x</math>

Voor de integraal van <math>P</math> over <math>C</math> vinden we:

:<math>\int_C P\ ,\mathrm{d}x = -\iint_D \frac{\partial P}{\partial y}], \mathrm{d}x\mathrm{d}y.</math>

Op analoge wijze kunnenkan wemen voor ''<math>Q''</math> afleiden dat:

:<math>\int_C Q\ \mathrm{d}y = \iint_D \frac{\partial Q}{\partial x}\, \mathrm{d}x\mathrm{d}y.</math>

Met ''<math>P'' = 0</math> en ''<math>Q'' = ''x''</math> en met ''<math>P'' = -''y''</math> en ''<math>Q'' = 0</math> krijgen we voor de [[oppervlakte]] ''<math>A''</math> binnen de contour ''<math>C''</math> (doorlopen in de richting tegen de klok in):

:<math>A = \oint_Coint_{\!\!\!C} x\,{\rm d}y = - \oint_Coint_{\!\!\!C} y\,{\rm d}x</math>