Zeven bruggen van Koningsbergen: verschil tussen versies

2.514 bytes verwijderd ,  3 jaar geleden
Label: Misbruikfilter: Leeghalen
De '''zeven bruggen van Koningsbergen''' is een [[wiskunde|wiskundig]] vraagstuk. Het geldt als een van de eerste problemen uit de [[grafentheorie]]. Het "probleem" werd voor het eerst opgelost door [[Leonhard Euler]] in [[1736]].
 
==Het vraagstuk==
De stad [[Koningsbergen]] (heden ten dage [[Kaliningrad]]) lag in het oosten van [[Pruisen]] aan de rivier de [[Pregel]], waarin twee eilanden lagen die door zeven bruggen met elkaar en met de vaste wal verbonden waren; dit staat hieronder schematisch afgebeeld. De vraag was nu of het mogelijk is om zó te lopen dat je precies één keer over elke brug komt. In sommige versies van het vraagstuk werd ook geëist dat men weer bij het startpunt eindigt.
 
In [[1736]] heeft Euler op zeer eenvoudige wijze aangetoond dat dit onmogelijk is. Tevens heeft hij laten zien dat het probleem beschouwd kan worden als een probleem op een graaf, waarin het vraagstuk over de bruggen van Koningsbergen als volgt geabstraheerd is:
 
{|
|[[Bestand:Konigsberg bridges.png|180px|thumb|Kaart van Koningsbergen uit Eulers tijd, met de locatie van de zeven bruggen]]
|[[Bestand:7 bridges.svg|180px|thumb|Vereenvoudigde kaart]]
|[[Bestand:Königsberg_graph.svg|180px|thumb|Gereduceerd tot een graaf]]
|}
 
In de [[Grafentheorie|graaf]], de rechter afbeelding, wordt elke brug voorgesteld door een lijn, en de eilanden en oevers door een blauw knooppunt.
De punten die aan een oneven aantal lijnen grenzen, noemen we punten van oneven graad. Men kan aantonen dat het aantal punten van oneven graad in elke graaf even is. Om een [[Eulerwandeling]] of [[Eulertoer]], waarbij men precies één keer over elke lijn loopt, mogelijk te maken, moeten er nul of twee punten van oneven graad zijn. Zijn er twee punten van oneven graad, dan moet de wandeling starten in het ene oneven punt en eindigen in het andere oneven punt. Zijn er geen punten van oneven graad, dan kan de wandeling overal beginnen en eindigt de wandeling waar hij begonnen is. Geen van beide is in Koningsbergen mogelijk doordat er meer dan twee punten grenzen aan een oneven aantal lijnen.
 
Het verschil tussen de echte ligging en de schematische weergave van hierboven is een goed voorbeeld van het kenmerk dat topologie zich niet bezighoudt met de exacte weergave van zaken, maar meer met hun relatieve vorm.
 
Variaties op het probleem komt men vaak tegen op puzzelpagina's, waarbij wordt gevraagd een figuur te tekenen zonder het potlood van het papier te nemen en zonder een lijn twee keer te tekenen. Dat is eenvoudig als men weet waar men moet beginnen: in een punt van oneven graad (als dat er is). Zijn er meer dan twee punten van oneven graad, dan is er geen oplossing.
Natuurlijk is er ook geen oplossing als de figuur niet samenhangend is.
 
==De huidige staat van de bruggen==