Ondergroep (wiskunde): verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Geen bewerkingssamenvatting |
k HTML, replaced: style="background:#FFFFAA;"| <font color="red">0 → style="background:#FFFFAA;color:red"| 0 (16), <font color="orange">0 || → <font color="orange">0</font> || (56), <font color="blue">7 → <font color=" met AWB |
||
Regel 1:
In de [[groepentheorie]] verstaat men onder een '''ondergroep''' of '''deelgroep'''<ref>In Nederland gebruikt men de term "ondergroep"; in Vlaanderen is de term "deelgroep" gangbaarder.</ref> van een gegeven [[groep (wiskunde)|groep]] <math>G</math> met [[binaire operatie]] <math>*</math>, een [[deelverzameling]] van <math>G</math> die zelf ook een groep is onder de operatie <math>*</math>.
Preciezer kan men zeggen dat de deelverzameling <math>H\subseteq G</math> van een groep <math>(G,*)</math> een ondergroep van <math>(G,*)</math> is als de [[restrictie (wiskunde)|beperking]] van de bewerking <math>*</math> tot <math>H\times H</math> voldoet aan de axioma's voor groepsbewerking.
Regel 20:
*Een deelverzameling <math>H\subseteq G</math> is een ondergroep van de groep <math>G</math> [[dan en slechts dan als]] <math>H</math> niet-leeg is en gesloten onder vermenigvuldiging en inverses. (Dit houdt in: dat met <math>a,b\in H</math> ook <math>ab\in H</math> en <math>a^{-1}\in H</math>. Of korter: met <math>a,b\in H</math> is ook <math>a^{-1}b\in H</math>.)
*Als <math>H</math> eindig is, dan is <math>H</math> een ondergroep [[dan en slechts dan als]] met <math>H</math> gesloten is onder vermenigvuldiging. In dit geval genereert elk element <math>a\in H</math> een eindige cyclische ondergroep van <math>H</math>, en is de inverse van <math>a</math> gelijk aan <math>a^{-1}=a^{n-1}</math>, waarin <math>n</math> de orde is van <math>a</math>.
*Alternatief geldt dat een deelverzameling <math>H\subseteq G</math> een ondergroep van de groep <math>G</math> is [[dan en slechts dan als]] er een [[
*Het neutrale element van een ondergroep is hetzelfde als het neutrale element van de groep.
*De inverse van een element in een ondergroep is gelijk aan de inverse van het element in de groep.
Regel 30:
==Voorbeeld==
Laat <math>G=\{0,2,4,6,1,3,5,7\}</math> een [[abelse groep]] zijn met als groepsoperatie de optelling [[Modulair rekenen|
:{| border="2" cellpadding="7"
!style="background:#FFFFAA;"| +
!style="background:#FFFFAA;color:red"|
!style="background:#FFFFAA;color:red"|
!style="background:#FFFFAA;color:red"|
!style="background:#FFFFAA;color:red"|
!style="background:#FFFFAA;color:blue"|
!style="background:#FFFFAA;color:blue"|
!style="background:#FFFFAA;color:blue"|
!style="background:#FFFFAA;color:blue"|
|-
!style="background:#FFFFAA;color:red"|
| <font color="orange">0</font> || <font color="red">2</font> || <font color="orange">4</font> || <font color="red">6</font> || <font color="blue">1</font> || <font color="blue">3</font> || <font color="blue">5</font> || <font color="blue">7</font>
|-
!style="background:#FFFFAA;color:red"|
| <font color="red">2</font> || <font color="red">4</font> || <font color="red">6</font> || <font color="red">0</font> || <font color="blue">3</font> || <font color="blue">5</font> || <font color="blue">7</font> || <font color="blue">1</font>
|-
!style="background:#FFFFAA;color:red"|
| <font color="orange">4</font> || <font color="red">6</font> || <font color="orange">0</font> || <font color="red">2</font> || <font color="blue">5</font> || <font color="blue">7</font> || <font color="blue">1</font> || <font color="blue">3</font>
|-
!style="background:#FFFFAA;color:red"|
| <font color="red">6</font> || <font color="red">0</font> || <font color="red">2</font> || <font color="red">4</font> || <font color="blue">7</font> || <font color="blue">1</font> || <font color="blue">3</font> || <font color="blue">5</font>
|-
!style="background:#FFFFAA;color:blue"|
| <font color="blue">1</font> || <font color="blue">3</font> || <font color="blue">5</font> || <font color="blue">7</font> || <font color="red">2</font> || <font color="red">4</font> || <font color="red">6</font> || <font color="red">0</font>
|-
!style="background:#FFFFAA;color:blue"|
| <font color="blue">3</font> || <font color="blue">5</font> || <font color="blue">7</font> || <font color="blue">1</font> || <font color="red">4</font> || <font color="red">6</font> || <font color="red">0</font> || <font color="red">2</font>
|-
!style="background:#FFFFAA;color:blue"|
| <font color="blue">5</font> || <font color="blue">7</font> || <font color="blue">1</font> || <font color="blue">3</font> || <font color="red">6</font> || <font color="red">0</font> || <font color="red">2</font> || <font color="red">4</font>
|-
!style="background:#FFFFAA;color:blue"|
| <font color="blue">7</font> || <font color="blue">1</font> || <font color="blue">3</font> || <font color="blue">5</font> || <font color="red">0</font> || <font color="red">2</font> || <font color="red">4</font> || <font color="red">6</font>
|}
Deze groep heeft een paar niet-triviale ondergroepen: <math>J=\{0,4\}</math> (oranje) en <math>H=\{0,2,4,6\}</math> (rood). De ondergroep <math>J</math> is ook een ondergoep van <math>H</math>. De [[Cayley-tabel]] voor <math>H</math> bestaat uit het linkerboven [[Kwadrant (wiskunde)|kwadrant]] van de Cayley tabel voor <math>G</math>. De groep <math>G</math> en de ondergroepen zijn [[cyclische groep
==Zie ook==
| |||