|
=== Bewijs ===
Het gegevenvolgende bewijs is een voorbeeld van een [[bewijs uit het ongerijmde]]:
Stel dat √2<math>\sqrt{2}</math> een [[rationaal getal]] is en wel:
:<math>\sqrt{2}=\frac{a}{b}</math>, ▼
▲: <math> \sqrt{2}=\frac{a}{b } = \sqrt{2}</math>,
waarin de breuk zodanig [[Breuk (wiskunde)#Vereenvoudigen|vereenvoudigd]] is dat <math>a</math> en <math>b</math> [[relatief priem]] zijn (geen factoren gemeenschappelijk hebben). ▼
▲waarin de breuk zodanig [[Breuk (wiskunde)#Vereenvoudigen|vereenvoudigd]] is dat <math>a</math> en <math>b</math> [[relatief priem]] zijn , dus (geen gemeenschappelijke factoren gemeenschappelijk hebben ). Dan volgt na <math>b</math> uit de noemer halen en na links en rechts [[Kwadraat|kwadrateren]]
Dan volgt dat
:<math>b\,\sqrt{2}=a</math> ▼en na links en rechts [[Kwadraat|kwadrateren]]
: <math>2ba^2 =a 2b^2</math>.
DaaruitNoem volgt<math>r</math> daten <math>a^2s</math> eende [[evengrootste getal]]machten is,van en dus ook<math>2</math> datzodat <math>a</math> zelfdoor even<math>2^r</math> is,en <math>b</math> zegdoor <math>a=2k2^s</math>. zijn te delen, dan is
▲: <math> b\,\sqrt{2}2r= a2s+1</math> .
Daaruit volgt weer:
:<math>2b^2=(2k)^2=4k^2</math>,
Dat is onmogelijk, dus dat <math>\sqrt{2}</math> een irrationaal getal is.
dus
:<math>b^2=2k^2</math>.
[[Euclides van Alexandrië|Euclides]] heeft de stelling in Boek 10 van zijn [[Elementen van Euclides|Elementen]] ook bewezen, maar hij gaf daar een [[bewijs door oneindige afdaling]] dat langer is.
Kennelijk is <math>b^2</math> even, en daarmee ook <math>b</math> zelf. Maar dat is in tegenspraak met het gegeven dat <math>a</math> en <math>b</math> relatief priem zijn. De veronderstelling dat √2 een rationaal getal is, is dus onjuist en daarmee is bewezen dat √2 een irrationaal getal is.
Door [[Euclides van Alexandrië|Euclides]] is dit [[Getaltheorie|getaltheoretische]] bewijs in Boek 10 van [[Elementen van Euclides|De Elementen]] gegeven.
== De A-standaard voor papierformaat ==
| 