|
[[Filebestand:omega-exp-omega-labeled.svg|thumb|300px|Representatie van de ordinalen tot en met ω<sup>ω</sup>. Iedere omwenteling in de spiraal representeert een factor ω.]]
In de [[verzamelingenleer]] geeftis een '''ordinaalgetal''' of '''ordinaal''' een generalisatie van het begrip [[natuurlijk getal]]. Net zoals met de positienatuurlijke getallen de objecten in van een [[elementeindige (wiskunde)|element]]collectie in een [[rijvolgorde (wiskunde)|rij]]gezet vankunnen elementenworden aan.door Eende '''ordinaalgetal'''objecten ofte '''ordinaal'''tellen, iszijn een generalisatieordinaalgetallen hiervanook vooreen [[welgeordendheid|welgeordendesoort verzameling]]en"labels" om objecten in hetvolgorde te algemeenplaatsen.
==Definitie==
==Formele definitie==
De formele definitie van een ordinaalgetal maakt gebruik van beginsegmenten van [[welgeordende verzameling]]en. enEen beginsegmenten.beginsegment bestaat uit alle elementen die in de volgorde vóór een bepaald gegeven element liggen, dus
*Een ''beginsegment'' van een welgeordende verzameling <math>(X,\leq)</math> is een verzameling <math>X_a = \{x \in X|x<a\}</math>.
*Een welgeordende verzameling is een paar <math>(X,\leq)</math> waarbij <math>X</math> een verzameling is, en <math> \leq </math> een [[welgefundeerde relatie|welgefundeerde]] [[totale orde]]. Dit houdt in dat elke niet-lege deelverzameling een [[kleinste element]] heeft (welgefundeerd) en dat de orde alle elementen van de verzameling beslaat (totaal).
*Een ''beginsegment'ordinaal''' vanis een welgeordende verzameling <math>(X,\leq)</math> iswaarvor eengeldt verzamelingdat <math>a = X_a =</math> \{xvoor \inalle X|x<math>a\}</math> in <math>X</math>, dus een welgeordende verzameling waarvan ieder element zijn eigen beginsegment is.
*Een ordinaal is een welgeordende verzameling <math>(X,\leq)</math> zo dat <math>a = X_a </math> voor alle <math>a</math> in <math>X</math>, dus een welgeordende verzameling waarvan ieder element zijn eigen beginsegment is.
==Successorordinaal==
GegevenBij eeniedere ordinaal <math>\alpha</math> kan altijd een nieuwe ordinaal, de ''successorordinaal'', <math>\alpha + 1=\alpha \cup \{\alpha\}</math> gevonden worden. Dit is de ''eerstvolgende'' ordinaal, en wordt ''successorordinaal'' genoemd, en genoteerd met <math>\alpha + 1</math>.
Uitgaande van de lege verzameling krijgen weontstaan zo de [[Natuurlijk_getal#Binnen_de_verzamelingenleer|verzamelingtheoretische voorstellingen van de natuurlijke getallen]] (waarbij ∅ staat voor de [[lege verzameling]]):
* 0 = ∅
* 1 = {0} = {∅}
| 