Versie van 21 jul 2018 10:09 bewerken ChristiaanPR (overleg \| bijdragen) uitgebreid bevestigde gebruikers, Uitgezonderden van IP-adresblokkades 33.858 bewerkingen Ik vind boloppervlak duidelijker dan sfeer, maar ik heb het nergens veranderd. ← Oudere bewerking		Versie van 21 jul 2018 11:37 bewerken ongedaan maken Madyno (overleg \| bijdragen) 34.753 bewerkingen Geen bewerkingssamenvatting Nieuwere bewerking →
Regel 1: [[Afbeelding:Sphere_wireframe 10deg 6r.svg\|thumb\|250px\|Een twee-dimensionale perspectivische projectie van een sfeer]] In de [[meetkunde]] is een '''sfeer''' of '''boloppervlak''' een driedimensionale figuur die gevormd wordt door alle punten die op gelijke afstand liggen van een vast punt, het middelpunt van de sfeer. ~~Sfeer~~De term 'sfeer' brengt duidelijkheid in de verwarring tussen de opvatting van een [[Bol (lichaam)\|bol]] als oppervlak of als lichaam. Een bol kan zowel opgevat worden als driedimensionale generalisatie van de [[cirkel]], als van de cirkelschijf. Daarnaast wordt met een open bol de [[open verzameling]] punten binnen een sfeer en met een gesloten bol de [[gesloten verzameling]] punten binnen een sfeer bedoeld. == Andere talen == In andere talen bestaat de verwarring tussen het oppervlak en het massieve lichaam ook. In het [[Engels]] is ''sphere'' van oorsprong zowel een sfeer, als een bol (massief). Men maakt in het Engels wel onderscheid tussen sphere als sfeer en ''ball'' als massieve bol. In het [[Duits]] betekent ''Kugel'' zowel sfeer als massieve bol, en heeft men daarnaast het woord ''Sphäre'' voor sfeer. In het ''Frans'' bestaat dezelfde tweeduidigheid met het woord ''boule'', en gebruikt men ''sfère'' voor sfeer. == Klassieke definitie == Een sfeer is de verzameling van alle punten in een driedimensionale [[euclidische ruimte]] die op een gegeven afstand, de straal, liggen van een gegeven punt (het [[middelpunt (meetkunde)\|middelpunt]] van de sfeer). De sfeer <math>S(m,R)</math> met straal <math>R>0</math> en middelpunt <math>m\in \R^3</math> : <math>S(m,R)=\{x\in\R^3 \mid \\|x-m\\|=R\}</math> De sfeer kan ook vastgelegd worden door een vergelijking. De sfeer met oorsprong in het punt <math>m=(x_0,y_0,z_0)</math> en straal <math>R</math> is in [[Cartesisch coördinatenstelsel\|cartesische coördinaten]] gegeven door: : <math>\\|x-m\\|^2=(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2</math>. Het oppervlak van een sfeer met straal <math>R</math> heeft grootte : <math>A=4\pi R^2.</math> De [[eenheidsbol]] (eenheidssfeer) is de sfeer <math>S(0,1)</math> met de oorsprong als middelpunt en straal 1. == Willekeurige dimensie == Voor ieder [[natuurlijk getal]] <math>n\geq 0</math> definieert men de <math>n</math>-sfeer met middelpunt <math>m</math> en straal <math>r</math> als : <math>S^n(m,r)=\{x\in\R^{n+1}\mid d(x,m)=r\}</math> met als speciaal geval de eenheidsbol in <math>n+1</math> dimensies : <math>S^n=S^n(0,1)</math> Het getal <math>n</math> is de dimensie van <math>S^n</math> opgevat als topologische variëteit; intuïtief is dit het aantal vrijheidsgraden. Zo is de cirkel <math>S^1</math> lokaal gezien een eendimensionale lijn, en het boloppervlak <math>S^2</math> lokaal een tweedimensionaal vlak. Regel 34: Het gehanteerde afstandsbegrip komt meestal met de [[gewone metriek]] overeen. : <math>d(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+\ldots+(x_{n+1}-y_{n+1})^2}</math> De sfeer <math>S^n(m,r)</math> is de rand van de ~~gegeneraliseerde~~ ''gegeneraliseerde bol'' <math>B^{n+1}(m,r)</math> in <math>n+1</math> dimensies. In <math>n</math> dimensies is de gegeneraliseerde bol gedefinieerd als : <math>B^n(m,r)=\{x\in\R^n\mid d(x,m) \le r\}</math> met als speciaal geval de [[eenheidsbol]] : <math>B^n=B^n(0,1)</math> De bol is een fundamenteel begrip in veel metrische ruimtes, en wordt – afhankelijk van het betreffende deelgebied van de wiskunde – uitgerust met aanvullende structuren, bijvoorbeeld die van een topologische, gladde of riemannse [[variëteit (wiskunde)\|variëteit]]. Het [[vermoeden van Poincaré]] betreft een voldoende voorwaarde opdat een gegeven driedimensionale variëteit topologisch equivalent is met de ~~drie-sfeer~~driesfeer <math>S^3</math>. De ~~drie-sfeer~~driesfeer wordt soms “aanschouwelijk” gemaakt door haar te modelleren als deelverzameling van <math>\C^2</math>: : <math>S^3=\left\{(z_1,z_2)\in\C\times\C\,\bigg\|\, \|z_1\|^2+\|z_2\|^2=1\right\}</math> De topologische ~~zeven-sfeer~~zevensfeer <math>S^7</math> kan worden uitgerust met niet minder dan 28 onderling verschillende gladde structuren. Een daarvan is de klassieke gladde structuur afkomstig van de omliggende euclidische ruimte <math>\R^8</math>, de andere 27 zijn voorbeelden van [[exotische differentiaalstructuren]]. De [[stelling van Borsuk-Ulam]] gaat over [[Continue functie (analyse)\|continue]] afbeeldingen van de <math>n</math>-sfeer naar de <math>n</math>-dimensionale euclidische ruimte. Regel 61: In een willekeurige [[metrische ruimte]] <math>(X,d)</math>, of zelfs een [[Pseudometriek\|pseudometrische ruimte]], is de sfeer met middelpunt <math>m</math> en straal <math>R>0</math> op analoge wijze gedefinieerd: : <math>S(m,R)=\left\{x\in X\|d(x,m)=R\right\}</math> Is bijvoorbeeld het vlak <math>\R^2</math> uitgerust met de [[Manhattan-metriek]] : <math>d(x,y)=\|x_1-y_1\|+\|x_2-y_2\|</math>, dan hebben de cirkels de vorm van vierkanten waarvan de zijden een hoek van 45° maken met de coördinaatassen. == Riemann-sfeer == De [[~~Riemann~~riemann-sfeer]] is het [[~~Riemann~~riemann-oppervlak]] dat ontstaat door aan het complexe vlak <math>\C</math> één punt <math>\infty</math> toe te voegen, waarbij het gedrag in de omgeving van <math>\infty</math> bepaald wordt door de afbeelding : <math>\C\to\C\cup\{\infty\}\setminus\{0\}:z\mapsto{1\over z}</math>, als een kaart met [[Kromlijnige coördinaat\|kromlijnige coördinaten]] van het [[complexe vlak]] te beschouwen. Regel 78: Topologisch is de Riemann-sfeer gelijkwaardig met de gewone [[eenheidsbol]] <math>S^2</math>. [[Projectieve meetkunde\|Meetkundig]] modelleert de ~~Riemann~~riemann-sfeer de complexe [[projectieve lijn]] <math>\C\mathbb{P}^1</math>. {{Commonscat\|Spheres}}

Sfeer (wiskunde): verschil tussen versies