Sfeer (wiskunde): verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Ik vind boloppervlak duidelijker dan sfeer, maar ik heb het nergens veranderd. |
|||
Regel 1:
[[
In de [[meetkunde]] is een '''sfeer''' of '''boloppervlak''' een driedimensionale figuur die gevormd wordt door alle punten die op gelijke afstand liggen van een vast punt, het middelpunt van de sfeer. De benaming '''sfeer''' brengt duidelijkheid in de verwarring tussen de opvatting van een [[bol (lichaam)|bol]] als oppervlak of als lichaam. Een bol kan zowel opgevat worden als driedimensionale generalisatie van de [[cirkel]] als van de cirkelschijf. Daarnaast wordt ook gesproken van een ''open bol'', waarmee de punten binnen een sfeer bedoeld worden. Ook in andere talen bestaat de verwarring tussen het oppervlak en het massieve lichaam. In het Engels is 'sphere' van oorsprong zowel een sfeer, als een bol (massief); men maakt in het Engels wel onderscheid tussen 'sphere' als sfeer en 'ball' als massieve bol. Ook in het Duits betekent 'Kugel' zowel sfeer als massieve bol, en heeft men daarnaast het woord 'Sphäre' voor sfeer. In het Frans bestaat dezelfde tweeduidigheid met het woord 'boule', en gebruikt men 'sfère' voor sfeer. ▼
In de [[meetkunde]] is een '''sfeer''' of '''boloppervlak''' een driedimensionale figuur die gevormd wordt door alle punten die op gelijke afstand liggen van een vast punt, het middelpunt van de sfeer. Sfeer brengt duidelijkheid in de verwarring tussen de opvatting van een [[Bol (lichaam)|bol]] als oppervlak of als lichaam. Een bol kan zowel opgevat worden als driedimensionale generalisatie van de [[cirkel]] als van de cirkelschijf.
==Klassieke definitie==▼
Een ''sfeer'' is de verzameling van alle punten in een driedimensionale [[euclidische ruimte]] die op een gegeven afstand, de straal, liggen van een gegeven punt (het [[middelpunt (meetkunde)|middelpunt]] van de sfeer).▼
Daarnaast wordt met een open bol de [[open verzameling]] punten binnen een sfeer en met een gesloten bol de [[gesloten verzameling]] punten binnen een sfeer bedoeld.
== Andere talen ==
▲In
▲== Klassieke definitie ==
▲Een
De sfeer <math>S(m,R)</math> met straal <math>R>0</math> en middelpunt <math>m\in \R^3</math>
: <math>S(m,R)=\{x\in\R^3 \mid \|x-m\|=R\}</math>
De sfeer kan ook vastgelegd worden door een vergelijking. De sfeer met oorsprong in het punt <math>m=(x_0,y_0,z_0)</math> en straal <math>R</math> is in [[Cartesisch coördinatenstelsel|cartesische coördinaten]] gegeven door:
: <math>\|x-m\|^2=(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2
Het oppervlak van een sfeer met straal <math>R</math> heeft grootte
: <math>A=4\pi R^2.</math>
De [[
== Willekeurige dimensie ==
Voor ieder [[natuurlijk getal]] <math>n\geq 0</math> definieert men de
: <math>S^n(m,r)=\{x\in\R^{n+1}\mid d(x,m)=r\}</math>
met als speciaal geval de eenheidsbol in <math>n+1</math> dimensies
: <math>S^n=S^n(0,1)</math>
Het getal <math>n</math> is de dimensie van <math>S^n</math> opgevat als topologische variëteit; intuïtief is dit het aantal vrijheidsgraden. Zo is de cirkel <math>S^1</math> lokaal gezien een eendimensionale lijn, en het boloppervlak <math>S^2</math> lokaal een tweedimensionaal vlak.
Het gehanteerde afstandsbegrip
: <math>d(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+\ldots+(x_{n+1}-y_{n+1})^2}</math>
De sfeer <math>S^n(m,r)</math> is de rand van de gegeneraliseerde ''bol'' <math>B^{n+1}(m,r)</math> in <math>n+1</math> dimensies.
Regel 34 ⟶ 40:
In <math>n</math> dimensies is de gegeneraliseerde bol gedefinieerd als
: <math>B^n(m,r)=\{x\in\R^n\mid d(x,m) \le r\}</math>
met als speciaal geval de [[eenheidsbol]]
: <math>B^n=B^n(0,1)</math>
De bol is een fundamenteel begrip in veel metrische ruimtes, en wordt – afhankelijk van het betreffende deelgebied van de wiskunde – uitgerust met aanvullende structuren, bijvoorbeeld die van een topologische, gladde of riemannse [[variëteit (wiskunde)|variëteit]].
Regel 46 ⟶ 52:
De drie-sfeer wordt soms “aanschouwelijk” gemaakt door haar te modelleren als deelverzameling van <math>\C^2</math>:
: <math>S^3=\left\{(z_1,z_2)\in\C\times\C\,\bigg|\, |z_1|^2+|z_2|^2=1\right\}</math>
De topologische zeven-sfeer <math>S^7</math> kan worden uitgerust met niet minder dan 28 onderling verschillende gladde structuren. Een daarvan is de klassieke gladde structuur afkomstig van de omliggende euclidische ruimte <math>\R^8</math>, de andere 27 zijn voorbeelden van [[exotische differentiaalstructuren]].
Regel 52 ⟶ 58:
De [[stelling van Borsuk-Ulam]] gaat over [[Continue functie (analyse)|continue]] afbeeldingen van de <math>n</math>-sfeer naar de <math>n</math>-dimensionale euclidische ruimte.
== Andere metrieken ==
In een willekeurige [[metrische ruimte]] <math>(X,d)</math>,
: <math>S(m,R)=\left\{x\in X|d(x,m)=R\right\}</math>
Is bijvoorbeeld het vlak <math>\R^2</math> uitgerust met de [[Manhattan-metriek]]
: <math>d(x,y)=|x_1-y_1|+|x_2-y_2|
dan hebben de
== Riemann-sfeer ==
De [[Riemann-sfeer]] is het [[Riemann-oppervlak]] dat ontstaat door aan het complexe vlak <math>\C</math> één punt <math>\infty</math> toe te voegen, waarbij het gedrag in de omgeving van <math>\infty</math> bepaald wordt door de afbeelding
: <math>\C\to\C\cup\{\infty\}\setminus\{0\}:z\mapsto{1\over z}
als een kaart met [[
Topologisch is de Riemann-sfeer gelijkwaardig met de gewone [[eenheidsbol
[[Projectieve meetkunde|Meetkundig]] modelleert de Riemann-sfeer de complexe [[projectieve lijn]]
{{Commonscat|Spheres}}
| |||