Rij (wiskunde): verschil tussen versies

Een eindige rij met ''<math>N''</math> elementen wordt meestal weergegeven als

Een '''oneindige rij met eerste element''' is een [[afbeelding (wiskunde)|afbeelding]] met domein <math>\{1, 2, 3, ...\ldots\}.</math> Het argument is het [[rangnummer]]. Een '''eindige rij''' van ''<math>k''</math> elementen is een afbeelding met domein <math>\{1, 2, 3, ...\ldots, ''k''\},</math> zie ook [[tupel]]. Een '''oneindige rij met laatste element''' is een afbeelding met domein <math>\{...\ldots, -2, -1, 0\}.</math> Een '''tweezijdig oneindige rij''' is een afbeelding met domein <math>\Z</math>. Met een rij in ''<math>V''</math> wordt bedoeld dat het [[codomein]] ''<math>V''</math> is. De [[Beeld (wiskunde)|beeld]]en worden ''elementen van de rij'' genoemd. De afbeelding hoeft niet [[injectief]] te zijn, dat wil zeggen dat een element van <math>V</math> meer dan één keer in de rij kan voorkomen.

Een rij wordt wel genoteerd als <math>(a_n)_{n=M}^N</math>, met <math>N - M\ge ≥ -1,</math> inclusief de mogelijkheid <math>M=-\infty</math> en/of <math>N=\infty</math>. In het geval van een oneindige rij met eerste element, met ''<math>r''</math> de betreffende afbeelding, geldt dan <math>a_n=r(n-M+1)</math>. Op de plaats van <math>a_n</math> kan ook expliciet een uitdrukking in ''<math>n''</math> staan. Zo is er bijvoorbeeld de rij <math>(n^2)_{n=3}^\infty,</math>, die onder meer ook genoteerd kan worden <math>((n+2)^2)_{n=1}^\infty.</math>. Als de eerste elementen van een rij al suggereren hoe die verdergaat, en dat inderdaad het geval is, wordt een rij ook wel genoteerd door opsomming van die eerste elementen, gevolgd door puntjes. Zo kan de genoemde voorbeeldrij ook genoteerd worden (9, 16, 25, ...). Bij een tweezijdig oneindige rij (dus een afbeelding met domein <math>\Z</math>) wordt, indien niet anders aangegeven, met de variabele buiten de haakjes het argument van de afbeelding bedoeld. <math>(n^2)_{n=-\infty}^\infty</math> is dus een andere tweezijdig oneindige rij dan <math>((n+2)^2)_{n=-\infty}^\infty</math>. Een notatie als (..., -4, -1, 0, 1, 4, ...) is niet eenduidig, omdat er niet uit blijkt bij welk element het argument 0 is.

Een bekend voorbeeld van een [[recursie]]f gedefinieerde rij is de [[rij van Fibonacci]], <math>(f_n)_{n=1}^\infty</math>, gedefinieerd door <math>f_1 = 1</math>,\ <math>f_2 = 1</math> en <math>f_{n}f_n = f_{n-2}+f_{n-1}</math> voor elke <math>n>2</math>. Merk op dat er twee beginwaarden moeten worden gegeven om het recursieve proces op gang te krijgen.

Niet voor elke getallenrij bestaat een wiskundige formule waarmee men een element kan uitrekenen. Het bekendste voorbeeld hiervan is de rij van [[priemgetal]]len, waarvan element ''<math>n''</math> slechts beschreven kan worden als het ''<math>n''</math>-de priemgetal.

:<math> y_n=\tfrac1n </math>.

:<math>\lim\limits_{n\to\infty}y_n=0.</math>

;Als de rij uit elementen van een willekeurige [[metrische ruimte]] ''<math>V''</math> bestaat.

*De rij is een cauchyrij, maar de elementen van de rij naderen naar een buiten <math>V</math> gelegen waarde. De rij heeft geen limiet in ''<math>V''.</math>

**Bijvoorbeeld: ''<math>V''</math> is het reële interval <math>(0,\infty)</math> en de rij is <math>1, \tfrac12, \tfrac13, \tfrac14, \ldots </math>

In <math>\overline{\R}</math> en <math>\widehat{\mathbb{R}}</math> (zie [[Oneindigheid#Topologische_ruimten_met_oneindig_als_element|topologische ruimten met oneindig als element]]) geldt voor een rij met een oneindige limiet (net als voor een rij met een eindige limiet) dat deze rij convergent is.