|
==Definitie==
Onder de gradiënt, <math>\mathrm{grad}\ f,</math> van een reële functie ''<math>f''</math> van ''<math>n''</math> reële veranderlijken <math>x_1, x_2,\cdotsldots, x_n</math> in een punt ''<math>a''</math> van <math>\mathbb{R}^n</math>, verstaat men de [[vector (wiskunde)|vector]] met als componenten de [[partiële afgeleide]]n van ''<math>f''</math> in ''<math>a'',</math> dus:
:<math>\mathrm{grad}\ f = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2},\cdotsldots, \frac{\partial f}{\partial x_n} \right).</math>
Vaak noteert men de gradiënt met behulp van de formele operator [[nabla]]:
:<math>\mathrm{grad}\ f = \nabla f.</math>
Als deze partiële afgeleiden in (een [[Open verzameling|open deelverzameling]] van) <math>\mathbb{R}^n</math> bestaan, bepaalt de gradiënt van ''<math>f''</math> een [[vectorveld]].
Formeel is de gradiënt hetzelfde als de meerdimensionale afgeleide van ''<math>f'',</math> (zie [[differentieerbaarheid]]).
==Voorbeeld==
Voor de driedimensionale functie <math>f : \mathbb{R}^3 \rightarrowto \mathbb{R}</math> is dus:
:<math>\mathrm{grad} f = \nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right).</math>
Stel dat ''<math>f''</math> wordt gegeven door:
:<math>f(x,y,z) = x^6-y-xz.\,</math>.
Dan wordt de gradiënt van ''f'' gegeven door: ▼
▲Dan wordt de gradiënt van ''<math>f ''</math> gegeven door:
:<math>\nabla f = \left(6x^5-z, -1, -x \right)</math>, ▼
▲:<math>\nabla f = \left(6x^5-z, -1, -x \right)</math>,
wat een [[vectorveld]] in drie dimensies voorstelt.
==Sterkste variatie==
Met elke ([[oriëntatie (wiskunde)|georiënteerde]]) [[Richting (wiskunde)|richting]] van <math>\mathbb{R}^n</math> komt een [[richtingsafgeleide]] van ''<math>f''</math> in ''<math>a''</math> overeen. Als ''<math>f''</math> differentieerbaar is in ''<math>a'',</math> dan bepalen de richting en oriëntatie van de gradiënt de maximale waarde van deze richtingsafgeleiden.
==Gekromde ruimten==
Op een algemene [[gladde variëteit]] noteert men ''df''<math>\mathrm{d}f</math> voor de [[Differentiaalvorm|eenvorm]] ([[Raakruimte|covectorveld]]) waarvan de componenten ten opzichte van een gegeven coördinatenstelsel, de partiële afgeleiden zijn van ''<math>f''</math> in dat coördinatenstelsel.
Op een [[Riemannriemann-variëteit]] levert de [[metrische tensor]] '' <math>g''</math> een eenduidig verband tussen covectoren en vectoren, zodat de gradiënt daar opnieuw als een [[vectorveld]] kan worden opgevat:
:<math>g(\nabla f,v)=(df\mathrm{d}f)(v)=\sum_i{\partial f\over\partial x^i}v^i</math>
{{DEFAULTSORT:Gradient}}
| 