Lineair omhulsel: verschil tussen versies

340 bytes toegevoegd ,  4 jaar geleden
geen bewerkingssamenvatting
Geen bewerkingssamenvatting
In de [[lineaire algebra]] is, als ''<math>W''</math> een [[verzameling (wiskunde)|verzameling]] [[Vector (wiskunde)|vectoren]] binnen een [[vectorruimte]] ''<math>V''</math> is, het '''lineair omhulsel''' of '''lineair opspansel''' van ''<math>W''</math> de doorsnede van alle [[lineaire deelruimte]]s van ''<math>V''</math> die ''<math>W''</math> bevatten. Het is zelf ook een lineaire deelruimte. Het is de verzameling van alle eindige [[lineaire combinatie]]s van de vectoren uit ''<math>W''</math>.
 
Men noteert het lineair omhulsel van de ''<math>W''</math> als <math>\mathrm{span}(''W''),</math> afgeleid van de Engelse benaming ''linear span''. De vectoren in ''<math>W''</math> worden de '''opspannende vectoren''' genoemd en men zegt ook dat het lineair omhulsel door deze vectoren wordt [[voortbrengen (lineaire algebra)|voortgebracht]].
 
==Definitie==
Het lineair omhulsel <math>\mathrm{span}(''S'')</math> van een deelverzameling ''<math>S''</math> van een vectorruimte ''<math>V''</math> is de kleinste deelruimte van ''<math>V''</math> die ''<math>S''</math> omvat, dus
 
:<math>S \subseteq D \subseteq V\ {\rm en}\ D\ {\rm lineaire\ ruimte}\ \Leftrightarrow {\rm span}(S) \subseteq D</math>
 
== Lineair omhulsel van een eindige verzameling vectoren ==
Zij ''<math>V''</math> een vectorruimte over een [[lichaam (Ned) / veld (Be)|lichaam (in België: veld)]] ''<math>K''</math>, dan is het lineair omhulsel van de vectoren ''v''<sub>1</submath>v_1,...\ldots,''v<sub>n''v_n</submath> in ''<math>V''</math>, de [[lineaire deelruimte|deelruimte]]
 
:<math>\mathrm{span}(v_1 ,\ldots, v_n) = \{ a_1 v_1 + \ldots + a_n v_n : a_1 ,\ldots, a_n \in K \}.</math>
 
Men noteert het lineair omhulsel van de vectoren v<sub>1</submath>v_1,...\ldots,v<sub>nv_n</submath> als <math>\mathrm{span}(v<sub>1</sub>v_1,\ldots,v_n)...,v<sub>n</submath>). Andere notaties zijn <v<sub>1</submath>\langle v_1,...\ldots,v<sub>nv_n\rangle</sub>math> en [v<sub>1</submath>[v_1,\ldots,v_n]...,v<sub>n</submath>].
 
== Lineair omhulsel van een oneindige verzameling vectoren ==
Zij ''<math>V''</math> een vectorruimte over een [[lichaam (Ned) / veld (Be)|lichaam (in België: veld)]] ''<math>K''</math>, dan is het lineair omhulsel van <math>W \sub V</math>, de [[lineaire deelruimte|deelruimte]] die bestaat uit de eindige lineaire combinaties van deze vectoren.
 
:<math>\mathrm{span}(W) = \{ a_1 w_1 + \ldots + a_n w_n: n \in \N, w_1,\ldots , w_n \in W, a_1 ,\ldots, a_n \in K \}.</math>
 
== Verdere eigenschappen ==
Als een stelsel vectoren ''<math>S''</math> [[lineaire onafhankelijkheid|onafhankelijk]] is, dan is ''<math>S''</math> een [[basis (lineaire algebra)|basis]] van de voortgebrachte deelruimte ''<math>U''. <br/math>
Meer algemeen geldt: als de vectorruimte ''<math>U''</math> wordt voortgebracht door het stelsel ''<math>S'',</math> dan bevat ''<math>S''</math> een basis van ''<math>U''.</math>
 
De ruimte ''<math>U''</math> blijft het lineair omhulsel van ''<math>S''</math>
* als men aan ''<math>S''</math> een vector uit ''<math>U''</math> toevoegt.
* als men een vector uit ''<math>S''</math>, welke een lineaire combinatie is van de overige vectoren uit ''<math>S''</math>, verplaatst naar ''<math>U''</math> \ ''<math>S''</math>.
* als men in ''<math>S''</math> een vector vermenigvuldigt met een van nul verschillend getal ([[scalair]]).
* als men bij een vector uit ''<math>S''</math>, een andere vector uit ''<math>S''</math> optelt.
 
[[Categorie:Wiskundige analyse]]
33.575

bewerkingen