Galoisgroep: verschil tussen versies

In de [[galoistheorie]], een deelgebied van de [[wiskunde]], is een '''galoisgroep''' de [[Groep (wiskunde)|groep]] die volgens een gegeven definitie bij een [[polynoom]] hoort. De [[Polynoom#Coëfficiënten|coëfficiënten]] van deeen polynoom]] zijn [[Geheel getal|geheel]] of [[Rationaal getal|rationaal]]. De galoisgroepen zijn genoemd naar de Fransman [[Évariste Galois]] genoemd.

Volgens de [[hoofdstelling van de algebra]] liggen alle [[nulpunt]]en van dezeeen polynoom in het [[complexe vlak]], zij vormen in het complexe vlak een [[Lichaam (Ned) / Veld (Be)|lichaam (Nederlands) of veld (Belgisch)]] van [[Algebraïsch getal|algebraïsche getallen]]. De studie van de galoisgroepen van polynomen is begonnen met de studie van de [[Lichaamsuitbreiding (Ned) / Velduitbreiding (Be)|uitbreidingen]]. De galoistheorie bestudeert welke [[Permutatiegroep|groepen die de nulpunten van een polynoom <math>f</math> permuteren]], <math>f</math> [[Invariant (wiskunde)|invariant]] laten.

HetBij kaniedere worden bvewezen dat bij iedereeindige groep <math>G</math> is er een polynoom <math>f</math> iste vinden, zodat <math>G</math> de galoisgroep <math>G(f)</math> van <math>f</math> is, dus zodat <math>G=G(f).</math>

Het uitgangspunt van de definitie van de galoisgroep is een polynoom <math>f</math>., Stelwaarvan wordt verondersteld dat alle nulpunten in de lichaams/velduitbreiding <math>E</math> de lichaams/velduitbreiding van de [[Rationaal getal|rationale getallen]] <math>\Q</math> is waarin alle nulpunten van <math>f</math> liggen. De galoisgroep <math>G(f)</math> van <math>f</math> bestaat uit de [[Verzameling (wiskunde)|verzameling]] van alle [[automorfisme]]n van <math>E</math>, zodanig dat ieder [[Beeld (wiskunde)|beeld]] van een nulpunt van <math>f</math> weer een nulpunt vanis. <math>G(f)</math> is.bestaat Indus de galoisgroep van een polynoom komen dusuit de permuaties van de nulpunten van die polynoom voor<math>f</math> die een automorfisme zijn.

Omdat de nulpunten van een polynoom niet altijd in de coëfficiënten van deeen polynoom zijn uit te drukken, maar soms alleen numeriek kunnen worden bepaald, kan met behulp van deze definitie niet altijd de galoisgroep van een polynoom worden berekend. Een dergelijke methode, dus om de galoisgroep van een polynoom <math>f</math> in de coëfficiënten van de polynoom<math>f</math> uit te drukken, is er wel.<ref>{{en}} {{CiteRP newsStauduhar |url=in [[Mathematics of Computation]]. [http://www.jstor.org/pss/2005536 |title=The Determination of Galois Groups |author=[[Mathematics of Computation]], RP Stauduhar |date=oktober 1973 }}. 27, 124</ref> Voor het geval dat de nulpunten van de polynoom wel in de coëfficiënten zijn uit te drukken, geeft deze methode hetzelfde antwoord als dat met behulp van directe berekening zou zijn bepaald.

Om de nulpunten van een polynoom <math>f</math> uit te drukken zijn in de wiskunde, behalve de rationale getallen en de vier [[Basisoperatie (wiskunde)|basisbewerkingen]], alleen [[Wortel (wiskunde)|wortels]] toegestaan. Om er abstract mee te rekenen mogen ze wel, net als iedere andere [[variabele]], bijvoorbeeld worden aangeduid met een letter, maar daarmee zijn ze nog niet in de coëfficiënten van de polynoom<math>f</math> uitgedrukt.

== ReferentiesVoetnoten ==