|
In de [[verzamelingenleer]], een deelgebied van de [[wiskunde]], zegt men van [[2 (getal)|twee]] [[verzameling (wiskunde)|verzameling]]en dat deze '''disjunct''' zijn, als zij geen [[element (wiskunde)|element]]en met elkaar gemeen hebben, wat dus betekent dat de[[doorsnede (verzamelingenleer)|doorsnede]] van twee disjuncte verzamelingen de [[lege verzameling]] is. Bij uitbreidingen noemt men een groep van meer dan twee verzamelingen disjunct, als elk tweetal disjunct is.
De verzamelingen {1, 2, 3} en {4, 5, 6} zijn bijvoorbeeld '''disjuncte verzamelingen'''.
De [[doorsnede (verzamelingenleer)|doorsnede]] van twee disjuncte verzamelingen is de [[lege verzameling]].
== Definitie ==
Formeel gezien zijn tweeTwee verzamelingen ''<math>A''</math> and ''B'' disjunct als geen enkel element,en <math>\epsilon \,B</math> zowel voorkomt in verzamelingheten ''Adisjunct'' als inhun doorsnede de lege verzameling ''B''is, dus
:<math>A\negcap \existsB \epsilon:\epsilon= \in A \and \epsilon \in Bvarnothing.</math>.
Twee disjuncte verzamelingen hebben geen enkel element gemeenschappelijk.
In dat geval is de [[doorsnede (verzamelingenleer)|doorsnede]] van de twee verzamelingen ''A'' en ''B'' [[lege verzameling|leeg]]
:<math>A\cap B = \varnothing. \,</math> ▼
Deze definitie is uitbreidbaar naar elke [[collectie (wiskunde)|collectie]] van verzamelingen. Een collectie van verzamelingen is '''paarsgewijs disjunct''' of '''wederzijds disjunct''' als elkeelk mogelijke combinatie van tweetweetal verzamelingen in de collectie disjunct is.
Formeel betekent dit dat de familie van verzamelingen <math>\mathcal{F}=\{A_i\mid i\in I\}</math>, met <math>I</math> een [[indexverzameling]], paarsgewijs disjunct is, als voor alle <math>i,j\in I</math> met <math>i\ne j,</math> geldt:
Formeel uitgedrukt, laat ''I'' een [[indexverzameling]] zijn, en voor elke ''i'' in ''I'', laat ''A''<sub>''i''</sub> een verzameling zijn. Dan is de familie van verzamelingen {''A''<sub>''i''</sub> : ''i'' ∈ ''I''} paarsgewijs disjunct voor enige ''i'' en ''j'' in ''I'' met ''i'' ≠ ''j''
:<math>A_i \cap A_j = \varnothing.\,</math>
De collectie van verzamelingen { {1}, {2}, {3}, ... } is bijvoorbeeld paarsgewijs disjunct. Als {''A''<sub>''i''</sub>} een paarsgewijze disjuncte collectie is die ten minste twee verzamelingen bevat, dan is de doorsnede duidelijk leeg:
Als <math>\{A_i \}</math> een paarsgewijze disjuncte collectie is die ten minste twee verzamelingen bevat, dan is de doorsnede duidelijk leeg:
:<math>\bigcap_{i\in I} A_i = \varnothing.\,</math>
▲:<math> A\ capbigcap_{i\in BI} A_i = \varnothing. \,</math>
Het tegengestelde is echter niet waar: de doorsnede van de collectie {{1, 2}, {2, 3}, {3, 1}} is leeg, maar de collectie is ''niet'' paarsgewijs disjunct - er komen in deze collectie geen twee disjuncte verzamelingen voor. ▼
▲Het tegengesteldeomgekeerde is echter niet waar: de doorsnede van bijvoorbeeld de collectie {{1, 2}, {2, 3}, {3, 1}} is leeg, maar de collectie is ''niet '' paarsgewijs disjunct - er komen in deze collectie geen twee disjuncte verzamelingen voor.
Een [[partitie (verzamelingenleer)|partitie]] van een verzameling ''X'' is enige collectie van niet-lege deelverzamelingen {''A''<sub>''i''</sub> : ''i'' ∈ ''I''} van ''X'' zodat {''A''<sub>''i''</sub>} paarsgewijs disjunct zijn en geldt dat
Een [[partitie (verzamelingenleer)|partitie]] van een verzameling is een voorbeeld van een paarsgewijs disjuncte collectie deelverzamelingen
:<math>\bigcup_{i\in I} A_i = X.\,</math>
==Referenties==
| 