Deltaëder: verschil tussen versies

Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Geen bewerkingssamenvatting
Geen bewerkingssamenvatting
Regel 1:
Een '''deltaëder''', meervoud: deltaëdra of deltaëders, in de [[meetkunde]], is een [[veelvlak]] dat uitsluitend uit [[gelijkzijdige driehoek]]en is opgebouwd. Alle driehoeken zijn [[Congruentie (meetkunde)|congruent]]. De naam deltaëder komt van de hoofdletter Δ, de [[Delta (letter)|delta]] in het [[Grieks alfabet|Griekse alfabet]], een driehoek.
 
ErTwee zijn er twee een [[regelmatig veelvlak]], de andere zes zijn een [[Johnson-lichaam]].
 
Het enige andere lichaam dat nog zowel deltaëder, als verder [[Veelvlak#Transitiviteit|hoekpunt-, ribbe- en zijvlaktransitief]] is, is de [[grote icosaëder]].
 
== De acht convexe deltaëdra ==
Regel 77 ⟶ 79:
| I<sub>h</sub>
|}
 
; Bewijs
Een deltaëder met <math>n</math> zijvlakken heeft <math>3 \ n : 2</math> ribben. <math>n</math> moet dus even zijn. <math>n</math> is minimaal 4 en maximaal 20, omdat het aantal driehoeken dat in een hoekpunt bij elkaar komt minimaal 3 en maximaal 5 is. Behalve voor <math>n=18</math> staan ze alle in de tabel hierboven. Een deltaëder met 18 zijvlakken is niet te maken.
 
Een dergelijke deltaëder <math>\triangle</math> met 18 zijvlakken zou 27 ribben en vanwege de [[formule van Euler voor veelvlakken]] 11 hoekpunten moeten hebben. Noem <math>n_5</math> het aantal hoekpunten in <math>\triangle</math>, waarin vijf driehoeken samenkomen, <math>n_4</math> het aantal hoekpunten waarin vier driehoeken samenkomen en <math>n_3</math> het aantal hoekpunten waarin drie driehoeken samenkomen.
 
: <math>5 n_5 + 4 n_4 + 3 n_3 = 54</math> en
: <math> n_5 + n_4 + n_3 = 11</math>.
 
Controle door berekening geeft als enige mogelijkheid <math>n_5=10</math>, <math>n_4=1</math> en <math>n_3=0</math>.
 
Begin om te proberen hiermee <math>\triangle</math> te maken in het hoekpunt waar vier driehoeken samenkomen. Daar begint de gelijke opbouw als die van een [[verlengde gedraaide vierkante bipiramide]], totdat er in plaats van één hoekpunt over er twee over zijn. Het lichaam kan met twee hoekpunten over niet worden gesloten, dus is <math>\triangle</math> niet te maken.
 
[[Categorie:Ruimtelijke figuur]]