Hoofdmenu openen

Wijzigingen

Geen verandering in de grootte, 1 jaar geleden
geen bewerkingssamenvatting
 
== Hoofdkenmerken==
Deze functie is [[Periode (wiskunde)|periodiek]], met periode [[pi (wiskunde)|<math>2\pi</math>]]. De sinus heeft dus dezelfde waarde voor de [[hoek (meetkunde)|hoeken]] ''α''<math>\alpha, ''α''\alpha + 2\pi, ''α''\alpha + 4\pi, ...\ldots</math> De grafiek is op de [[interval (wiskunde)|intervallen]] <math>[2\pi,4\pi), [4\pi,6\pi), </math> enzovoort een herhaling van het deel tussen <math>0</math> en <math>2\pi.</math> Dit komt, doordat een hoek van bijvoorbeeld {{nowrap|1=480° = 1×360°+120°}}, dus een keer helemaal rond en dan nog eens 120°, als echte hoek gelijk is aan een hoek van 120°. De bijbehorende waarden van sinus en cosinus zijn dan ook steeds gelijk.
 
De constructie en eigenschappen van de cosinus zijn analoog aan die van de sinus. Er geldt:
 
:<math>\sin\alpha=\cos\left(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\left(\alpha -\tfrac{\pi}{2}\right),</math>,
 
zodat de grafiek van de cosinus gelijk is aan de π<math>\pi/2</math> naar links verschoven grafiek van de sinus.
 
{{Panorama|De sinusfunctie SVG.svg|900px}}
== Sinus en cosinus in het heden ==
[[Bestand:Ciclo.png|300px|right]]
[[Hoek (meetkunde)|Stompe hoeken]] zouden volgens de genoemde definitie geen sinus of cosinus kunnen hebben. Men heeft om dit probleem op te lossen de sinus en cosinus geherdefinieerd. Bij afspraak is de sinus van ''θ''<math>\theta</math> het tweede coördinaatgetal van het beeldpunt ''<math>P''</math> van ''θ''de hoek <math>\theta</math> op de [[eenheidscirkel|goniometrische cirkel]]. De cosinus is het eerste coördinaatgetal.
 
Deze definitie heeft een paar voordelen en verschaft de volgende inzichten:
* De sinus van een hoek en de cosinus van de hoek waarmee hij samen 90° vormt (complement) zijn gelijk. Vandaar ook de naam ''<u>co</u>mplementaire <u>sinus</u>''.
* De sinus van een hoek en de cosinus van de hoek waarmee zijn verschil 90° is (anticomplement) zijn gelijk.
* Uit het gebruik van de goniometrische cirkel en de [[stelling van Pythagoras]] valt af te leiden dat <math>\sin² θ^2\theta + \cos² θ^2\theta = 1.</math>
 
De abstracte definitie vanfuncties sinus en cosinus heeftworden hetabstract overgedefinieerd tweeals de functies ''<math>f''(''x'')</math> en ''<math>g''(''x'')</math> die voldoen aan de volgende voorwaarden voldoen:
: <math>f(0)=0</math>
: <math>g(0)=1</math>
: <math>f'(x)=g(x)</math>
: <math>g'(x)=-f(x)</math>
De enige functies die daaraan voldoen zijn de sinus en cosinus functies.
 
== Reeksontwikkeling ==
De volgende [[reeksontwikkeling]]en gelden voor de sinus en de cosinus:
:<math>\sin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} = \frac{1}{1!}x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-\cdots ldots</math>
 
:<math>\cos x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}= 1-\frac{1}{2!}x^2 +\frac{1}{4!}x^4-\cdots ldots</math>
 
==Relatie met complexe exponent ==
:<math>y=r \sin \theta</math>
 
Daarin is ''θ''<math>\theta</math> de poolhoek en ''<math>r''</math> de poolstraal.
 
== Enkele voorbeelden ==
24.240

bewerkingen