Gauss-kwadratuur: verschil tussen versies

Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Madyno (overleg | bijdragen)
Madyno (overleg | bijdragen)
Geen bewerkingssamenvatting
Regel 150:
 
De coëfficiënten van de polynomen en van hun afgeleiden zijn evenals hun nulpunten in een tabel te vinden.
 
==Voorbeeld==
Op het interal [-1,1] vormen de Legrendre-polynomen een orthogonaal stelsel. Voor <math>n=4</math> is de genormeerde versie
:<math>P_4(x)=\tfrac 18 \sqrt{\tfrac 92}(35x^4-30x^2+3)</math>
 
Deze polynoom is kwadratisch in <math>x^2</math>, dus zijn de nulpunten van de vorm
:<math>x^2=\frac{30\pm 4\sqrt{30}}{70}</math>,
 
dus
:<math>x_4=-x_1=\sqrt{\tfrac 37 + \tfrac 47 \sqrt{\tfrac 3{10}}}</math>
:<math>x_3=-x_2=\sqrt{\tfrac 37 - \tfrac 47 \sqrt{\tfrac 3{10}}}</math>
 
De vergelijkingen voor de gewichtsfactoren zijn:
 
:<math>\sum_{k=1}^4 w_k = 2</math>,
:<math>\sum_{k=1}^4 w_k x_k= \sum_{k=1}^4 w_k x_k^3= 0</math>,
:<math>\sum_{k=1}^4 w_k x_k^2= \tfrac 23</math>,
waaruit volgt
:<math>w_1=w_4</math> en <math>w_2=w_3</math>
:<math>w_1+w_2=1</math>
 
:<math>w_1x_1^2+(1-w_1)x_2^2=\tfrac 13</math>
Dus is
:<math>w_1=\frac{\tfrac 13-x_2^2}{x_1^2-x_2^2}=
\frac{\tfrac 13-\tfrac 37 + \tfrac 47 \sqrt{\tfrac 3{10}}}{\tfrac 87 \sqrt{\tfrac 3{10}}}=\tfrac 12+(\tfrac 13-\tfrac 37)\tfrac 78 \sqrt{\tfrac{10}3}=\tfrac 12-\tfrac 16\sqrt{\tfrac 56}</math>
 
zodat
:<math>w_1=w_4=\tfrac 12-\tfrac 16\sqrt{\tfrac 56}\quad</math> en <math>\quad w_2=w_3=\tfrac 12+\tfrac 16\sqrt{\tfrac 56}</math>
 
Als benadering voor de integraal
:<math>I=\int_{-1}^1 \cos(\tfrac{\pi}{2}x)\,{\rm d}x = \tfrac 4\pi=1{,}2732395\ldots </math>
 
geeft Gauss-kwadratuur:
:<math>I \approx \sum w_k\cos(\tfrac{\pi}{2}x_k)=1{,}2732295\ldots
</math>
 
==Referenties==