Booleaanse algebra: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Geen bewerkingssamenvatting |
|||
Regel 13:
==Definitie==
Een ''booleaanse algebra'' of ''boole-algebra'' bestaat uit een verzameling <math>S</math> die ten minste twee verschillende elementen 0 (''onwaar'', logische FALSE) en 1 (''waar'', logische TRUE) bevat, en die voorzien is van twee [[binaire operatie|binaire bewerking]]en <math>\and</math> (''en'', logische AND, ook genoteerd als <math>\times</math> of <math>\ \cdot\ </math>) en <math>\or</math> (''of'', logische OR, ook genoteerd als <math>+</math>), en een [[unaire bewerking]] <math>\lnot</math> (''niet'', logische NOT), die voldoen aan de volgende axioma's voor alle <math>a,b,c \in S</math>:
[[associativiteit]]
:<math>a \or (b \or c) = (a \or b) \or c</math>
:<math>a \and (b \and c) = (a \and b) \and c</math>
[[commutativiteit]]
:<math>a \or b = b \or a</math>
:<math>a \and b = b \and a</math>
[[Absorberend element|absorptie]]
:<math>a \or (a \and b) = a</math>
:<math>a \and (a \or b) = a</math>
[[distributiviteit]]
:<math>a \or (b \and c) = (a \or b) \and (a \or c)</math>
:<math>a \and (b \or c) = (a \and b) \or (a \and c)</math>
[[complement (verzamelingenleer)|complement]]
:<math>a \or \lnot a = 1</math>
:<math>a \and \lnot a = 0</math>
De eerste drie paren axioma's, associativiteit, commutativiteit en absorptie, houden in dat het drietal <math>(S, \and, \or)</math> een [[tralie (wiskunde)|tralie]] is.
Uit de axioma's volgt dat in de [[partiële orde]]ning van het tralie 0 het kleinste element is en 1 het grootste element. (Die partiële ordening wordt bepaald door de relatie <math>a\le b \Longleftrightarrow a=a\and b</math>.)
Verder volgt uit de axioma's dat het complement <math>\lnot a</math> van een element <math>a</math> eenduidig bepaald is en dat:
[[idempotentie]]
:<math>a \or a = a</math>
:<math>a \and a = a</math>
kleinste en grootste elementen
:<math>a \or 0 = a</math>
:<math>a \and 1 = a</math>
:<math>a \or 1 = 1</math>
:<math>a \and 0 = 0</math>
[[complement (verzamelingenleer)|complementen]]
:<math>\lnot 0 = 1</math>
:<math>\lnot 1 = 0</math>
[[Wetten van De Morgan|regels van de Morgan]]
:<math>\lnot (a \or b) = \lnot a \and \lnot b</math>
:<math>\lnot (a \and b) = \lnot a \or \lnot b</math>
[[involutie (wiskunde)|involutie]]
:<math>\lnot \lnot a = a</math>.
Veel gebruikte Engelse benamingen zijn:
:{| class="wikitable"
Regel 43 ⟶ 89:
|exclusieve of||xor||<math>(a \or b) \and \lnot (a \and b)</math>
|}
==Notatie==
| |||